Question

Ache a equação da circunferencia que tem centro na reta de equação x-2y+9=0 e que passa pelos pontos (1,-4) e (5,2)?
preciso das respostas certas deseja agradeço

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernanda, que a resolução parece simples. Só é um pouquinho trabalhosa, pois envolve noções sobre distância entre dois pontos e conhecimento sobre o raio de uma circunferência. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar a equação da circunferência que tem centro na reta de equação: x - 2y + 9 = 0 e que passa pelos seguintes pontos: P(1; -4) e Q(5; 2). Note que poderemos ir na equação da reta em que está o centro da circunferência e já isolarmos uma das incógnitas. Vamos isolar a incógnita "x" na equação da reta, que é esta:

x - 2y + 9 = 0 ----- isolando "x", teremos:

x = 2y - 9       . (I)

ii) Veja: vamos chamar o centro dessa circunferência de "C" com as seguintes coordenadas: C(x; y).

iii) Agora vamos por parte: você deve lembrar que a distância do centro da circunferência a qualquer ponto por onde a circunferência passa nos dá o raio dessa circunferência, certo? Então faremos o seguinte: primeiro calcularemos a distância do centro da circunferência [C(x; y)] ao ponto P(1; -4); depois faremos a mesma coisa quanto ao centro da circunferência [C(x; y)] e o ponto Q(5; 2). Assim teremos:

iii.1) Calculando a distância entre o centro C(x; y) e o ponto P(1; -4), teremos:

(CP)² = (x-1)² + (y-(-4))² ----- desenvolvendo, temos:

(CP)² = (x-1)² + (y+4)² ----- como (CP)² é a mesma coisa que o raio ao quadrado, então ficaremos assim:

r² = (x-1)² + (y+4)² ----- desenvolvendo os quadrados, teremos:

r² = x²-2x+1 + y²+8y+16 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 2x + 8y + 17         . (II)

iii.2) Calculando a distância entre o centro C(x; y) e o ponto Q(5; 2), teremos:

(CQ)² = (x-5)² + (y-2)² ----- como (CQ)² é a mesma coisa que o raio ao quadrado, então ficaremos assim:

r² = (x-5)² + (y-2)² ------ desenvolvendo os quadrados, teremos:

r² = x²-10x+25 + y²-4y+4 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 10x - 4y + 29      . (III)

iv) Note que as expressões (II) e (III) podem ser igualadas, pois ambas representam o raio ao quadrado da circunferência. Então vamos igualá-las. Fazendo isso, teremos:

x² + y² - 2x + 8y + 17 = x² + y² - 10x - 4y + 29 ----- passando tudo o que tem "x' e "y" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, iremos ficar assim:

x²+y²-2x+8y - x²-y²+10x+4y = 29 - 17 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

8x + 12y = 12 ----- simplificando-se ambos os membros por "4", ficaremos apenas com:

2x + 3y = 3        . (IV)

Mas lembre-se que, conforme a expressão (I), que deixamos logo no início (quando isolamos a incógnita "x" da equação que contém o centro da circunferência), vimos que "x = 2y-9". Então vamos na expressão (IV) acima e, no lugar de "x" colocaremos "2y-9". Vamos apenas repetir a expressão (IV) que é esta:

2x + 3y = 3 ---- substituindo-se "x" por "2y-9", teremos:

2*(2y-9) + 3y = 3 ---- desenvolvendo o produto indicado, temos:

4y-18 + 3y = 3 ----- reduzindo os termos semelhantes, temos:

7y - 18 = 3 ---- passando "-18" para o 2º membro, temos:

7y = 3+18

7y = 21 ---- isolando "y", teremos:

y = 21/7 ----- como "21/7 = 3", teremos:

y = 3 <---- Este é o valor da ordenada "y" do centro da circunferência.

Agora, para encontrar o valor da abscissa "x" do centro da circunferência, vamos na expressão (I), que é esta:

x = 2y - 9 ----- substituindo-se "y" por "3", teremos:

x = 2*3 - 9

x = 6 - 9

x = - 3 <--- Este é o valor da abscissa "x" do centro da circunferência.

Assim, o centro da circunferência, que chamamos de C(x; y) será este (após substituirmos "x" por "-3" e "y" por "3"):

C(-3; 3) <---- Este é o centro da circunferência da sua questão.

v) Agora vamos encontrar a medida do raio (r) dessa circunferência. Para isso, basta irmos em uma das expressões [ou na (II) ou na (III)] e, em quaisquer uma delas o "x'' por "-3" e o "y" por "3". Vamos na expressão (II), que é esta:

r² = x² + y² - 2x + 8y + 17 ----- substituindo-se "x" por "-3" e "y" por "3", teremos:

r² = (-3)² + 3² - 2*(-3) + 8*3 + 17 ---- desenvolvendo, teremos:

r² = 9 + 9 + 6 + 24 + 17 ----- note que esta soma dá exatamente "65". Logo:

r² = 65 <---- Este é o valor do raio ao quadrado.

vi) Finalmente, agora que já temos o valor do raio ao quadrado (r² = 65) e temos o centro da circunferência [C(-3; 3)] vamos encontrar a sua equação reduzida. Lembre-se que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, a sua equação reduzida será dada por: (x-x₀) + (y-y₀)² = r². Então, uma circunferência que tenha centro em C(-3; 3) e r² = 65, terá a seguinte equação reduzida:

(x-(-3))² + (y-3)² = r² ------ desenvolvendo, teremos:

(x+3)² + (y-3)² = r² ---- como já vimos que r² = 65, então ficaremos com:

(x+3)² + (y-3)² = 65 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.