ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e D nos seguintes casos:
a) A (6, 2), B (4, 0) e D (10, 4)
preciso das respostas certas deseja agradeço
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Fernanda, que a resolução é mais ou menos simples. Só é bastante trabalhosa. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Vamos chamar o Centro dessa circunferência de C(x; y) e, em seguida, vamos encontrar a distância do centro C(*x; y) a cada um dos pontos dados [A(6; 2), B(4; 0) e D(10; 4)], pois como cada um desses pontos passa pelo "traço circular" da circunferência, então a distância "d" do centro C(x; y) a cada um desses pontos será o raio (r). Assim, teremos:
i.1) Distância (d) de A(6; 2) ao centro C(x; y)
d² = (x-6)² + (y-2)² ----- desenvolvendo, temos:
d² = x²-12x-36 + y²-4y+4 ----- organizando, temos:
d² = x² + y² - 12x - 4y + 40 . (I) .
i.2) Distância (d) de B(4; 0) ao centro C(x; y).
d² = (x-4)² + (y-0)² ---- desenvolvendo, temos:
d² = x²-8x+16 + y² ----- organizando, temos:
d² = x² + y² - 8x + 16 . (II) .
i.3) Distância (d) de D(10; 4) ao centro C(x; y)
d² = (x-10)² + (y-4)² ---- desenvolvendo, temos:
d² = x²-10x+100 + y²-8y+16 ---- organizando, temos:
d² = x² + y² - 10x - 8y + 116 . (III) .
ii) Assim, como você viu, ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:
{d² = x² + y² - 12x - 4y + 40 . (I).
{d² = x² + y² - 8x + 16 . (II).
{d² = x² + y² - 10x - 8y + 116 . (III).
Como cada uma dessas expressões são iguais entre si, pois representam, cada uma, o raio ao quadrado, então vamos, inicialmente, igualar (I) com (II), ficando:
x² + y² - 12x - 4y + 40 = x² + y² - 8x + 16 --- pasando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² + y² - 12x - 4y + 40 - x² - y² + 8x - 16 = 0 --- reduzindo termos semelhantes:
-4x - 4y + 24 = 0 ---- dividindo-se ambos os membros por "-4", iremos ficar assim:
x + y - 6 = 0 ---- passando "6' para o 2º membro, teremos;
x + y = 6 . (IV).
Agora vamos igualar a expressão (II) à expressão (III), ficando:
x² + y² - 8x + 16 = x² + y² - 10x - 8y + 116 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² + y² - 8x + 16 - x² - y² + 10x + 8y - 116 = 0 --- reduzindo termos semelhantes, ficamos com:
2x + 8y - 100 = 0 ---- dividindo-se ambos os membros por "2", ficaremos com:
x + 4y - 50 = 0 ----- passando "-50" para o 2º membro, temos:
x + 4y = 50 . (V).
iii) Agora note que a partir das expressões (IV) e (V) já poderemos encontrar os valores de "x" e de "y". Vamos apenas repetir as duas expressões, que são estas, formando o seguinte sistema:
{x + y = 6 . (IV).
{x + 4y = 50 . (V)
Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-4", e, em seguida, somaremos, membro a membro as duas expressões. Fazendo isso, teremos:
-4x - 4y = -24 ---- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "-4"]
x + 4y = 50 ------ [esta é a expressão (V) normal]
--------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
-3x + 0 = 26 ---- ou apenas:
-3x = 26 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3x = - 26
x = - 26/3 <--- Este é o valor de "x".
Agora, para encontrar o valor de "y" vamos em uma das duas últimas expressões [ou na (IV) ou na (V)] e, em quaisquer uma delas substituiremos "x' por "-26/3". Vamos na expressão (IV), que é esta:
x + y = 6 ----- substituindo-se "x" por "-26/3", teremos:
-26/3 + y = 6 ---- mmc, no 1º membro é "3". Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador):
[1*(-26) + 3*y]/3 = 6 ----- desenvolvendo, teremos:
[-26 + 3y]/3 = 6 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
-26 + 3y = 3*6 ---- desenvolvendo, temos:
-26 + 3y = 18 ---- passando "-26' para o 2º membro, temos:
3y = 18+26
3y = 44
y = 44/3 <--- Este é o valor de "y".
iv) Assim, o centro da circunferência da sua questão será:
C(-26/3; 44/3) <--- Este é o centro da circunferência da sua questão.
v) Agora falta apenas encontrar o valor do raio. Para isso, vamos em quaisquer uma das três primeiras expressões e substituiremos "x" por "-26/3" e "y" por "44/3". Vamos na expressão (II), que é esta:
d² = x² + y² - 8x + 16 ----- fazendo as devidas substituições, temos:
d² = (-26/3)² + (44/3)² - 8*(-26/3) + 16 ----- desenvolvendo, temos:
d² = 676/9 + 1.936/9 + 208/3 + 16 ---- mmc = 9. Assim:
d² = (1*676 + 1*1.936 + 3*208 + 9*16)/9
d² = (676 + 1.936 + 624 + 144)/9
d² = 3.380/9 <--- Este é o valor do raio ao quadrado da circunferência da sua questão.
vi) Assim, como uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r tem a sua equação reduzida encontrada da seguinte forma:
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² ----- então a circunferência da sua questão, que tem centro em C(-26/3; 44/3) e r² = 3.380/9, terá a sua equação reduzida da seguinte forma:
(x-(-(26/3))² + (y-44/3)² = 3.380/9 ---- desenvolvendo, temos:
(x+26/3)² + (y-44/3)² = 3.380/9 <--- Esta é a resposta. Ou seja, esta é a equação reduzida da circunferência da sua questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Resposta: Tem um erro na resposta do Adjemir, Tem uma parte que diz 10x mas seria 20x mudando todo o rumo da resposta
Explicação passo a passo: