Question

Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A, B e D nos seguintes casos:?
a) A (6, 2), B (4, 0) e D (10, 4)
b) A (1, 1), B (2, 0) e D (1, -1)
preciso das respostas certas deseja agradeço

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernanda, que questões desse tipo, embora sejam de fácil resolução, mas são bastante trabalhosas. Por isso é que a resposta não pode sair de imediato, sem que tenhamos que trabalhar muito, entendeu?

i) Nas duas questões propostas vamos resolver apenas a questão do item "a", pois a questão do item "b" será resolvida com a aplicação do mesmo raciocínio (só mudando os números). Então, na questão do item "a" pede-se para encontrar a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos A(6; 2), B(4; 0) e D(10; 4).

ii) Note que se chamarmos o centro da circunferência de C(x; y) , então a distância do centro C a cada ponto acima [pontos A, B e C) será o raio da circunferência, ok? Então vamos por parte:

ii.1) Distância do ponto A(6; 2) ao centro C(x; y). Assim, teremos:

(AC)² = (x-6)² + (y-2)² ---- substituindo-se "(AC)² por r²" e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-12x+36 + y²-4y+4 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 12x - 4y + 40      . (I) .

ii.2) Distância do ponto B(4; 0) ao centro C(x; y). Assim, teremos:

(BC)² = (x-4)² + (y-0)² ----- substituindo-se "(BC)² por r² e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-8x+16 + y² ---- ordenando, ficaremos assim:

r² = x² + y² - 8x + 16        . (II) .

ii.3) Distância do ponto D(10; 4) ao centro C(x; y). Assim, teremos:

(DC)² = (x-10)² + (y-4)² ---- substituindo-se "(DC)² por r² e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-20x+100 + y²-8y+16 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 20x - 8y + 116.      (III).

ii.4) Agora note: como as expressões (I), (II) e (III) são o resultado do raio (ao quadrado) da circunferência da sua questão, então vamos igualá-los. Assim, teremos:

- Igualando (I) e (II), teremos:

x² + y² - 12x - 4y + 40 = x² + y² - 8x + 16 ----- passando tudo o que tem "x" e "y" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos assim:

x² + y² - 12x - 4y - x² - y² + 8x = 16 - 40 ---- reduzindo termos semelhantes:

-4x - 4y = - 24 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "-4" e, assim, obteremos:

x + y = 6         . (IV).

- Igualando (II) e (III), teremos:

x² + y²-8x + 16 = x² + y² - 20x - 8y + 116 ---- passando tudo o que tem "x" e "y" para o 1º membro e o que não tem para o 2º, ficaremos com:

x² + y² - 8x - x² - y² + 20x + 8y = 116 - 16 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos;

12x + 8y = 100 ---- para facilitar, poderemos simplificar ambos os membros por "4", com o que iremos ficar assim:

3x + 2y = 25       . (V).

ii.5) Agora note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (IV) e (V) que são estas:

{x + y = 6     . (IV).

{3x + 2y = 25    . (V).

Faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (IV) por "-2" e, em seguida somaremos membro a membro com a expressão (V). Fazendo isso, teremos:

-2x - 2y = - 12 ----- [esta é a expressão (IV) por "-2")

3x + 2y = 25 ------- [esta é a expressão (V) normal)

--------------------------------- somando-se membro a membro, temos;

x + 0 = 13 ---- ou apenas:

x = 13 <--- Este será o valor da abscissa "x" do centro da circunferência.

Agora, para encontrar o valor da ordenada "y" vamos em quaisquer uma das duas expressões [ou na (IV) ou na (V)] e, em quaisquer uma delas substituiremos "x' por "13". Vamos na expressão (IV), que é esta:

x + y = 6 ----- substituindo-se "x" por "13", teremos:

13 + y = 6 ---- isolando "y", ficamos:

y = 6 - 13

y = - 7 <--- Este será o valor da ordenada "y" do centro da circunferência.

Agora note: para encontrar o valor do raio ao quadrado, basta irmos em quaisquer uma das primeiras expressões [ou na (I), ou na (II), ou na (III)]. Vamos na expressão (II), que é esta:

r² = x² + y² - 8x + 16 ----- substituindo-se "x' por "13" e "y" por "-7", temos:

r² = (13)² + (-7)² - 8*13 + 16 ------ desenvolvendo, teremos:

r² = 169 + 49 - 104 + 16 ---- efetuando esta soma, teremos:

r² = 130 <--- Este é o valor do raio ao quadrado.

iii) Finalmente, agora basta lembrar que a equação reduzida de uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, terá a sua equação reduzida obtida da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r² ------ assim, tendo esta expressão como parâmetro, então a circunferência do item "a", que tem centro em C(13; -7) e r² = 130, terá a seguinte equação reduzida:

(x-13)² + (y-(-7))² = r² ----- desenvolvendo-se, teremos:

(x-13)² + (y+7)² = 130 <---- Esta é a resposta para a circunferência do item "a". Ou seja, esta é a equação reduzida da circunferência do item "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.

Answer 2

(AC)² = (x-6)² + (y-2)² ---- substituindo-se "(AC)² por r²" e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-12x+36 + y²-4y+4 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 12x - 4y + 40      . (I) .

ii.2) Distância do ponto B(4; 0) ao centro C(x; y). Assim, teremos:

(BC)² = (x-4)² + (y-0)² ----- substituindo-se "(BC)² por r² e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-8x+16 + y² ---- ordenando, ficaremos assim:

r² = x² + y² - 8x + 16        . (II) .

ii.3) Distância do ponto D(10; 4) ao centro C(x; y). Assim, teremos:

(DC)² = (x-10)² + (y-4)² ---- substituindo-se "(DC)² por r² e desenvolvendo-se o 2º membro, teremos:

r² = x²-20x+100 + y²-8y+16 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

r² = x² + y² - 20x - 8y + 116.