Question

Ache a derivada de f(x)=arcsin(sinx-cosx)

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvemos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo diferencial.

Calculamos o seno em ambos os lados da igualdade, de modo que tenhamos:

$\sin(f(x))=\sin(\arcsin(\sin(x)-\cos(x)))$

Sabendo que $\arcsin(x)=\sin^{-1}(x)$ e $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$, temos:

$\sin(f(x))=\sin(x)-\cos(x)$

Diferenciando ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$, temos:

$\dfrac{d}{dx}(\sin(f(x)))=\dfrac{d}{dx}(\sin(x)-\cos(x))$

Para calcularmos estas derivadas, lembre-se que:

• Uma função composta por duas funções $g,~h$ contínuas é contínua e sua derivada é calculada pela regra da cadeia: $(g(h(x)))'=h'(x)\cdot g'(h(x))$.
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $(\alpha\cdot g(x)+\beta\cdot h(x))'=\alpha\cdot g'(x)+\beta\cdot h'(x)$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

Aplique a regra da cadeia e a linearidade

$\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot \cos(f(x))=\dfrac{d}{dx}(\sin(x))-\dfrac{d}{dx}(\cos(x))$

Calcule a derivada das funções seno e cosseno

$\dfrac{d}{dx}(f(x))\cdot \cos(f(x))=\cos(x)-(-\sin(x))\\\\\\ f'(x)\cdot \cos(f(x))=\cos(x)+\sin(x)$

Pela identidade fundamental da trigonometria, $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, fazemos $\cos(f(x))=\sqrt{1-\sin^2(f(x))$. Logo, teremos:

$f'(x)\cdot \sqrt{1-\underbrace{\sin^2(f(x))}_{(\sin(x)-\cos(x))^2}}}=\cos(x)+\sin(x)\\\\\\ f'(x)\cdot\sqrt{1-(\underbrace{\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)}_{1-\sin(2x)})}=\cos(x)+\sin(x)\\\\\\ f'(x)\cdot \sqrt{\sin(2x)}=\cos(x)+\sin(x)$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $\sqrt{\sin(2x)}$

$f'(x)=\dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{\sqrt{\sin(2x)}}~~\blacksquare$