Matemática, perguntado por guinas043, 3 meses atrás

Ache a derivada da função

$F(x)=2x^2-5x+1$

Usando a definição de derivada

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1

Usando a definição de derivadas concluímos que a derivada da função é

$\Large\text{$ \boxed{\boxed{4x-5 }}$}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos que achar a derivada da função $F(x)=2x^2-5x+1$ usando a definição de derivadas

Para acharmos a derivada por definição usamos o seguinte método

$\boxed{\dfrac{dy}{dx}= \lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} }$

Essa formulas nos diz que a derivada da função é igual ao limite de H tendendo a 0

Bem primeiro vamos determinar o que seria o F(x+h) do limite visto acima

Esse F(x+h) significa que onde tiver X na função substituiremos por (X+H)

Veja o exemplo a seguir

$2x^2-5x+1\\\\2(x+h)^2-5(x+h)+1\\\\2(x^2+2xh+h^2)-5x-5h+1\\\\\boxed{F(x+h)=2x^2+4xh+2h^2-5x-5h+1}$

Agora que ja esclarecemos o que é o F(x+h) basta substituir no limite e quando acharmos ele teremos nossa derivada

$\lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$

$\lim_{h \to 0} \dfrac{2x^2+4xh+2h^2-5x-5h+1-F(x)}{h}$

F(x) é a nossa função então -F(x) vai ser nossa função com valores trocados

$\boxed{-F(x)=-2x^2+5x-1}$

Agora podemos substituir no limite acima

$\lim_{h \to 0} \dfrac{2x^2+4xh+2h^2-5x-5h+1-F(x)}{h}\\\\\\\boxed{\lim_{h \to 0} \dfrac{2x^2+4xh+2h^2-5x-5h+1-2x^2+5x-1}{h}}$

Eu sei que esse limite parece assustador. Mas calma, veja que muita coisa vai ser anular

$\lim_{h \to 0} \dfrac{2x^2+4xh+2h^2-5x-5h+1-2x^2+5x-1}{h}\\\\\\\lim_{h \to 0} \dfrac{\backslash\!\!\!\!2x^2+4xh+2h^2-\backslash\!\!\!\!5x-5h+\backslash\!\!\!\!1-\backslash\!\!\!\!2x^2+\backslash\!\!\!\!5x-\backslash\!\!\!\!1}{h}\\\\\\\boxed{\lim_{h \to 0} \dfrac{+4xh+2h^2-5h}{h}}$

Bem mais fácil agora né ?

Agora basta fatorarmos em fator comum e assim conseguiremos elinar a indeterminação e assim achar nossa derivada

$\lim_{h \to 0} \dfrac{+4xh+2h^2-5h}{h}\\\\\\\lim_{h \to 0} \dfrac{h\cdot (4x+2h-5)}{h}\\\\\\\lim_{h \to 0} \dfrac{\backslash\!\!\!h\cdot (4x+2h-5)}{\backslash\!\!\!h}\\\\\\\boxed{\lim_{h \to 0} 4x+2h-5}$