Question

Ache a área da superfície que é cortada do cilindro x² + z² = 16 pelos planos x = 0,x = 2,y = 0 e y = 3?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas de superfícies.

Seja o cilindro $x^2+z^2=16$. Devemos determinar a área da superfície deste cilindro que é delimitada pelos planos $x=0,~x=2,~y=0$ e $y=3$.

Lembre-se que a área da superfície de um sólido delimitado pelos planos $x=a,~x=b,~y=c$ e $y=d$ pode ser calculado pela integral dupla: $\displaystyle{\int_a^b\int_c^d\sqrt{1+\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,dy\,dx}$.

Então, isolamos $z$ e calculamos as derivadas parciais:

$z^2=16-x^2\\\\\\ 2z\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}=-2x\\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{x}{z}=-\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}\\\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial y}=0$

Substituindo estes resultados e os planos que delimitam o cilindro, temos:

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^3\sqrt{1+\left(-\dfrac{x}{\sqrt{16-x^2}}\right)^2+0^2}\,dy\,dx$

Calcule as potências e some as frações

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^3\sqrt{1+\dfrac{x^2}{16-x^2}+0}\,dy\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\int_0^3\sqrt{\dfrac{16-x^2+x^2}{16-x^2}}\,dy\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2\int_0^3\sqrt{\dfrac{16}{16-x^2}}\,dy\,dx}$

Calcule o radical, sabendo que $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ e $\sqrt{16}=4$

$\displaystyle{\int_0^2\int_0^3\dfrac{4}{\sqrt{16-x^2}}\,dy\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma função em respeito a outra variável é considerada constante e obedece a regra: $\displaystyle{\int f(x)\cdot f(y)\,dy=f(x)\cdot\int f(y)\,dy$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int y^n\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C$.
• $\displaystyle{\int 1\,dy=\int y^0\,dy$.
• A integral imediata: $\displaystyle{\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx=\arcsin\left(\dfrac{x}{a}\right)+C,~a\neq0$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante na integral mais interna, calculada em respeito à variável $y$

$\displaystyle{4\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\cdot\int_0^31\,dy\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{4\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\cdot\dfrac{y^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^3\,dx}$

Some os valores no expoente e denominador e aplique os limites de integração

$\displaystyle{4\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\cdoty~\biggr|_0^3\,dx}\\\\\\ \displaystyle{4\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\cdot(3-0)\,dx}$

Some os valores e aplique a regra da constante

$\displaystyle{4\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\cdot3\,dx}\\\\\\ \displaystyle{12\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{16-x^2}}\,dx}$

Calcule a integral imediata, sabendo que $16=4^2$

$\displaystyle{12\cdot\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{4^2-x^2}}\,dx}\\\\\\ 12\cdot\arcsin\left(\dfrac{x}{4}\right)~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$12\cdot\left[\arcsin\left(\dfrac{2}{4}\right)-\arcsin\left(\dfrac{0}{4}\right)\right]$

Calcule as frações

$12\cdot\left[\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)-\arcsin(0)\right]$

Sabendo que $\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{6}$ e $\arcsin(0)=0$, temos:

$12\cdot\left[\dfrac{\pi}{6}-0\right]$

Some e multiplique os valores

$12\cdot\dfrac{\pi}{6}\\\\\\ 2\pi~\bold{u.~a}$

Esta é a área da superfície deste cilindro delimitada pelos planos $x=0,~x=2,~y=0$ e $y=3$.