Question

Ache a área da região limitada pela curva y = x^3 − 2x^2 − 5x + 6 pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{33}{4}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

A área da região limitada pela curva e o eixo $x$ é calculada pela integral da função. Esta integral pode ser definida, caso a área desta região esteja limitada a um intervalo fechado.

Devemos encontrar a área da região limitada pela curva $y=x^3-2x^2-5x+6$, pelo eixo $x$ e pelas retas verticais $x=-1$ e $x=2$.

A interpretação correta deste problema é:  Qual a área sob a curva $y=x^3-2x^2-5x+6$ no intervalo compreendido entre $-1\leq x\leq 2$?

Para isso, calculamos a seguinte integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^2 x^3-2x^2-5x+6\,dx$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq -1$.
• A integral de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_{-1}^2 x^3\,dx+\int_{-1}^2-2x^2\,dx+\int_{-1}^2-5x\,dx+\int_{-1}^26\,dx$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\int_{-1}^2 x^3\,dx-2\cdot\int_{-1}^2x^2\,dx-5\cdot\int_{-1}^2x\,dx+6\cdot\int_{-1}^2\,dx$

Calcule as integrais

$\dfrac{x^4}{4}-2\cdot\dfrac{x^3}{3}-5\cdot\dfrac{x^2}{2}+6x~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{2^4}{4}-2\cdot\dfrac{2^3}{3}-5\cdot\dfrac{2^2}{2}+6\cdot2-\left(\dfrac{(-1)^4}{4}-2\cdot\dfrac{(-1)^3}{3}-5\cdot\dfrac{(-1)^2}{2}+6\cdot(-1)\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$4-\dfrac{16}{3}-10+12-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{2}-6\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$4-\dfrac{16}{3}-10+12-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{2}+6$

Some os valores

$\dfrac{33}{4}$

Esta é a área da região limitada por esta curva, o eixo $x$ e as retas verticais.