Question

Ache 3 números em P.A. crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.

Answer 1

Se são 3 números em uma PA(Q) crescente (a razão r>0), temos:

Q = (x , x+r , x+2r)

Onde:

I) x + x+r +x+2r = 15      =====>   3x + 3r = 15    ======> x = $\frac{-3r+15}{3} = -r+5$

II) x . (x+r) . (x+2r) = 105 ====> x (x² + 3rx + 2r²) = 105  ===> x³ + 3rx² + 2r³ = 105

Usando I) EM II) temos:

(-r+5)³ + 3r(-r+5)² + 2.(-r+5)³ = 105

-r³ + 15r² - 75r + 125 + 3r³ - 30r² +75r -2r³ +30r² - 150r + 250 = 105

15r² -150r + 375 = 105

15r² - 150r + 270 = 0      ====>Simplificando a equação por 15

r² - 10r + 18 = 0

Δ= b² - 4ac

Δ = 100 - 4.1.18

Δ = 100 - 72

Δ = 28

r₁ = $\frac{10+2\sqrt7}{2} = 5 + \sqrt7$

r₂ = $\frac{10-2\sqrt7}{2} = 5 - \sqrt7$

Sendo assim, a PA (Q) será:

Q {$\sqrt{7} , 5+2\sqrt{7} , 10 + 3\sqrt{7}$}

ou

Q {$-\sqrt{7} , 5 , 10+\sqrt{7}$}