Question

achar os ângulos agudos internos de um triangulo retângulo sabendo que estão em P.A

Answer 1

Sabemos que em um triângulo retêngulo, o maior ângulo interno mede $90^{\circ}$.

Sendo $\alpha$ o menor dos três ângulos internos do triângulo, temos que os ângulos internos deste triângulo são:

$\left(\alpha,\,90^{\circ}-\alpha,\,90^{\circ}\left)$


Como a sequência acima é uma P.A., então a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Assim

$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}\\ \\ \left(90^{\circ}-\alpha \right )-\alpha=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha \right )\\ \\ 90^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}-90^{\circ}+\alpha\\ \\ 90^{\circ}-2\alpha=\alpha\\ \\ \alpha+2\alpha=90^{\circ}\\ \\ 3\alpha=90^{\circ}\\ \\ \alpha=\dfrac{90^{\circ}}{3}\\ \\ \boxed{\alpha=30^{\circ}}$


O outro ângulo agudo é

$90^{\circ}-\alpha\\ \\ =90^{\circ}-30^{\circ}\\ \\ =60^{\circ}$


Finalmente, os ângulos internos deste triângulo são

$\left(30^{\circ},\,60^{\circ},\,90^{\circ} \right )$