Question

Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3/5 e a razão entre o número de lados é 1/3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Talita, que a resolução é simples.
Vamos chamar o número de lados de um dos polígonos de "n₁" e do outro polígono de
"n₂".
Agora vamos procurar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como a razão entre o número de lados dos dois polígonos é igual a 1/3, então teremos isto:

n₁/n₂ = 1/3 ---- multiplicando-se em cruz, termos que:
3*n₁ = 1*n₂ --- ou apenas:
3n₁ = n₂ ----- ou, o que é a mesma coisa:
n₂ = 3n₁    .  (I).

ii) Veja que os ângulos internos (ai) de um polígono são dados por:

ai = 180*(n-2)/n , em que "ai" é um ângulo interno e "n" é o número de lados.
No caso da sua questão, como os ângulos internos dos dois polígonos têm uma razão de 3/5, então teremos isto:

[180*(n₁-2)/n₁] / [180*(n₂-2)/n₂] = 3/5 ---- veja que temos, no 1º membro uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então faremos:

[180*(n₁-2)/n₁]*[n₂/180*(n₂-2)] = 3/5 --- efetuando-se o produto indicado, temos:
[180*(n₁-2)*n₂]/[n₁*180*(n₂-2)] = 3/5 --- dividindo-se 180 do numerador com 180 do denominador, iremos ficar apenas com:

[n₂*(n₁-2)]/[n₁*(n₂-2)] = 3/5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
5n₂*(n₁-2) = 3n₁*(n₂-2)      . (II)

iii) Mas n₂ = 3n₁ , conforme vimos na expressão (I). Então vamos substituir n₂ por 3n₁ na expressão (II) acima.
Vamos apenas repetir a expressão (II), que é esta:

5n₂*(n₁-2) = 3n₁*(n₂-2) ---- substituindo-se n₂ por 3n₁, teremos:
5*3n₁*(n₁-2) = 3n₁*(3n₁-2) ---- desenvolvendo, teremos;
15n₁*(n₁-2) = 3n₁*(3n₁-2) ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "3n₁", com o que iremos ficar apenas com:

5*(n₁-2) = 1*(3n₁-2) ----- efetuando os produtos nos 2 membros, teremos:
5n₁ - 10 = 3n₁ - 2 ----- passando "-10" para o 2º membro e "3n₁" para o 1º, teremos:
5n₁-3n₁ = -2+10
2n₁ = 8
n₁ = 8/2
n₁ = 4 <---- Este é o número de lados de um dos polígonos. É um quadrilátero.

Agora, para saber qual é o valor de n₂, vamos na expressão (I),que é esta:

n₂ = 3n₁ ---- substituindo-se n₁ por "4", teremos:
n₂ = 3*4
n₂ = 12 <--- Este é o número de lados do outro polígono. É um dodecágono.

iv) Assim, resumindo, teremos que os dois polígonos são:

um quadrilátero (4 lados) e um dodecágono (12 lados) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.