Question

Achar dois planos cuja interseção seja a reta
x = 3 + 2t y = −4 + 7t z = 1 + 3t, onde −∞ < t < +∞.

Answer 1

Dois planos cuja interseção seja a reta (3,-4,1) + t(2,7,3) são 3y - 7z = -19 e 7x - 2y = 29.

O vetor u = (2,7,3) é o vetor direção da reta.

Esse vetor será paralelo aos dois planos que estamos procurando.

Para montarmos a equação cartesiana de um plano, precisamos de um vetor normal e um ponto.

Como a reta será a interseção dos planos, então o ponto (3,-4,1) pertencerá aos dois planos.

Precisamos de dois vetores perpendiculares ao vetor (2,7,3).

Observe que os vetores (7,-2,0) e (0,3,-7) satisfazem essa condição, porque o produto interno entre (2,7,3) e (7,-2,0), (2,7,3) e (0,3,-7) é igual a zero.

Sendo assim, os dois planos são da forma 7x - 2y = d e 3y - 7z = d'.

Substituindo o ponto (3,-4,1) nas duas equações:

7.3 - 2.(-4) = d

21 + 8 = d

d = 29

e

3.(-4) - 7.1 = d'

-12 - 7 = d'

d' = -19.

Os dois planos pedidos são 7x - 2y = 29 e 3y - 7z = -19.