Question

achar as coordenadas do centro ,dos vértices e dos focos da hipérbole de equação y²-x²+2y-2x-1=0​

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

A equação reduzida da hipérbole, com definição do eixo real em y é:

$\frac{(y-y_o)^2}{a^2} - \frac{(x-x_o)^2}{b^2}=1$

É possível notar isso ao observar que o coeficiente de y² na equação geral dada é positivo (+1).

Dada a equação geral apresentada na tarefa:

y² - x² + 2y - 2x - 1 = 0​

Agrupando os termos com y e x e isolando o 1:

y²+ 2y - x² - 2x = 1

Temos então que:

(y² + 2y + 1) - (x + 2x + 1) = 1

(y + 1)² - (x + 1)² = 1

O centro é o ponto Xo e Yo. Observe o sinal positivo acima! Pela equação reduzida então concluímos que:

C = (-1 ; -1)

A equação acima está sob a forma reduzida. Isso garante que:

a² = 1 ; b² = 1

Como a hipérbole está está no eixo real y, obtemos os vértices quando x = 0.

Vx = Cx = -1

(y + 1)² = 1

y + 1 = 1

Vy = 0

y + 1 = - 1

Vy = -2

V(-1,0) e V(-1,-2)

Os focos são obtidos por Pitágoras:

c² = a² + b²

c = 1 + 1

c = $\sqrt{2}$

E as coordenadas do foco são:

F1(-Cx ; -Cy + c) = (-1 ; 1 + √2)

F2(-Cx ; -Cy - c) = (1 ; -1 - √2)