Question

⚠️achar a solução da EQ Diferencial linear a seguir.
(não roube pontos pq se não denuncio)

ajuda?

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte equação diferencial:

$y'=2y+x^2+5$

Esta é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem, também conhecida como Equação de Bernoulli, que assume a forma: $y'+P(x)y=Q(x)y^n$. Neste caso, com $n=0$.

Para resolvermos esta equação, utilizamos o método do fator integrante: existe uma função $\mu(x)$ tal que ao multiplicarmos ambos os lados da igualdade, chegaremos a $y\cdot \mu(x)=\displaystyle{\int Q(x)\cdot \mu(x)\,dx}$, onde $y$ é solução desta equação diferencial e pode ser calculada pela fórmula $\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}$.

Primeiro, subtraímos $2y$ em ambos os lados da igualdade

$y'-2y=x^2+5$

Então, calculamos o fator integrante fazendo $P(x)=-2$

$\mu(x)=e^{\int -2\,dx}$

Calculamos a integral no expoente

$\displaystyle{\int -2\,dx}$

Aplique a linearidade: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$

$\displaystyle{-2\cdot\int 1\,dx}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R},~n\neq-1}$ sabendo que $1=x^0$

$-2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}$

Some e multiplique os valores

$-2x$

Então, teremos o fator integrante:

$\mu(x)=e^{-2x}$

Multiplique ambos os lados da equação pelo fator integrante

$e^{-2x}\cdot(y'-2y)=e^{-2x}\cdot(x^2+5)\\\\\\ e^{-2x}y'-2e^{-2x}y=e^{-2x}\cdot(x^2+5)$

Observe que podemos reescrever o lado esquerdo da igualdade utilizando a regra do produto: $f'(x)\cdot g'(x)+f(x)\cdot g'(x)=(f(x)\cdot g(x))'$

$(e^{-2x}\cdot y)'=e^{-2x}\cdot(x^2+5)$

Integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$

$\displaystyle{\int (e^{-2x}\cdot y)'\,dx=\int e^{-2x}\cdot(x^2+5)\,dx}$

Sabendo que $(e^{-2x}\cdot y)'=\dfrac{d(e^{-2x}\cdot y)}{dx}$, temos:

$\displaystyle{\int d(e^{-2x}\cdot y)=\int e^{-2x}\cdot(x^2+5)\,dx}$

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• A integral da derivada de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int d(F(x))=F(x)+C,~C\in\mathbb{R}}$.
• A integral do produto de duas funções pode ser calculada pela técnica de integração por partes ou tabela (discutida adiante).
• A derivada é um operador linear, logo vale que: $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.
• A derivada de uma potência pode ser calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x+C,~C\in\mathbb{R}}$.

Aplique o TFC

$e^{-2x}\cdot y=\displaystyle{\int e^{-2x}\cdot(x^2+5)\,dx}$

Calcularemos esta integral utilizando o método da tabela: consiste em escolher $u$ e $dv$, assim como na integração por partes de acordo com a propriedade LIATE, em que se respeita a ordem de prioridade para as funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Escolhendo $u=x^2+5$ e $dv=e^{-2x}\,dx$, substituímos estes resultados na tabela e calculamos a integral, veja a primeira imagem em anexo.

Assim, teremos:

$e^{-2x}\cdot y=-\dfrac{1}{2}\,e^{-2x}\cdot (x^2+5)-\dfrac{1}{2}\,x e^{-2x}-\dfrac{1}{4}\,e^{-2x}+C$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $e^{2x}$

$e^{2x}\cdot(e^{-2x}\cdot y)=e^{2x}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\,e^{-2x}\cdot (x^2+5)-\dfrac{1}{2}\,x e^{-2x}-\dfrac{1}{4}\,e^{-2x}+C\right)\\\\\\\ y=-\dfrac{1}{2}\,(x^2+5)-\dfrac{1}{2}\,x-\dfrac{1}{4}+Ce^{2x},~C\in\mathbb{R}$

Esta é a família de soluções desta equação diferencial linear.