Achar a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,2,3) e Q=(1,2,0) e tem a direção do vetor v= 2i+3k.
Soluções para a tarefa
Resposta:
y - 2 = 0
Explicação passo-a-passo:
Reescrevendo o vetor v = 2i + 0j + 3k => v = (2 , 0 , 3) que deve representar um vetor no plano.
Outro vetor, nesse plano será PQ = (0 , 0 , -3)
Seja, agora, w =(a,b,c) um vetor "normal" do plano. Seu produto escalar por cada um desses vetores do plano deve ser nulo.
<(a,b,c) ; (2,0,3)> => 2a + 3c = 0 ( I ) e <(a,b,c) ; (0,0,-3)> => 3c = 0 ( II ).
De ( I ) e ( II ) resulta a = c = 0 e w = (0,b,0).
Mas o produto de W por um vetor genérico do plano
<(0,b,0) ; (x,y,z)> (III) deve ser nulo, e vem a equação do plano paralelo ao plano procurado e que passa pela origem do sistema cartesiano. Eles diferem apenas por uma constante p.
Assim by + p = 0 e tomando as coordenada de P, por exemplo, resulta
2b + p = 0 => p = -2b, o que permite escrever by - 2b = 0 => b(y-2) = 0 que, para qualquer b
não nulo acarreta y - 2 = 0, ou expondo na forma geral 0x + y + 0z - 2 = 0