Question

Achar a declividade das curvas abaixo no ponto indicado e encontre as equações das retas tangente á curva nesse ponto como também a equação da reta perpendicular a essa reta tangente encontrada. (A) y=x³-9x (1,-8)​

Answer 1

Utilizando derivadas e definição de funções de reta, temos as seguintes respostas:

Declividade: -6

Reta tangente: $y=-6x-2$

Reta perpendicular: $y=\frac{1}{6}x-\frac{49}{6}$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função:

$y=x^3-9x$

Para encontrarmos a declividade de uma função temos que deriva-la:

$y=x^3-9x$

$y'=3x^2-9$

Agora temos a função derivada, mas como queremos a declividade no ponto (1,-8), temos que substituir todo x por 1 e todo y por -8 (não confunda y', que é a derivada, com y):

$y'=3x^2-9$

$y'=3.1^2-9$

$y'=3-9$

$y'=-6$

Assim temos que a declividade desta função neste ponto é -6.

Para encontrarmos a função da reta tangente, vamos primeiro olhar a função geral de uma reta:

$y=Ax+B$

Onde A e B são constantes, sendo A a declividade da reta e B a constante linear. Neste caso já temos a declividade da reta que passa pelo ponto (1,-8):

$y=-6x+B$

Para encontrarmos B, basta substituirmos o ponto (1,-8) neste função reta, ou seja, substituir x por 1 e y por -8:

$y=-6x+B$

$-8=-6.1+B$

$-8=-6+B$

$B=-2$

Agora temos nossa reta tangente completa:

$y=-6x-2$

Agora para encontrar a reta perpendicular a esta basta usarmos as seguinte propriedade entre duas retas perpendiculares y1 e y2:

$y_1=A_1.x+B_1$

$y_2=A_2.x+B_2$

$A_1.A_2=-1$

Ou seja, se duas retas forem perpendiculares, a multiplicação da declividade delas é -1, então usando isso podemso encontrar a declividade da reta perpendicular:

$y=-6x-2$

$y_2=A_2.x+B_2$

$-6.A_2=-1$

$A_2=\frac{1}{6}$

Assim já temos a declividade da nossa reta perpendicular:

$y_2=\frac{1}{6}x+B_2$

Agora para encontrar o coeficiente linear dela, vamos substituir o ponto (1,-8) na função:

$y_2=\frac{1}{6}x+B_2$

$-8=\frac{1}{6}.1+B_2$

$-8=\frac{1}{6}+B_2$

$-8-\frac{1}{6}=B_2$

$\frac{-48-1}{6}=B_2$

$\frac{-49}{6}=B_2$

Assim temos nossa reta perpendicular completa:

$y_2=\frac{1}{6}x-\frac{49}{6}$

Assim colocando todas as respostas em ordem temos:

Declividade : -6

Reta tangente: $y=-6x-2$

Reta perpendicular: $y=\frac{1}{6}x-\frac{49}{6}$