Achar a área entre as curvas y = x^3
e y = √x.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais duplas.
Seja a região compreendida entre as funções e , em um intervalo fechado . Sua área é calculada pela integral dupla: .
O elemento de área é determinado de acordo com o Teorema de Fubini. Para integrais duplas, ele pode assumir as formas: ou . Lembre-se que a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos.
Neste caso, ao determinarmos os limites de integração (que podem ser dados pela questão) ou encontrados, esboçamos o gráfico das funções e analisamos seu comportamento neste intervalo.
Considerando que, em todo este intervalo, , a área da região será calculada pela integral: .
Sejam as curvas e . Igualamos as funções para encontrarmos os limites de integração:
Eleve ambos os lados ao quadrado
Subtraia em ambos os lados da equação
Fatoramos a equação
Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, assim temos:
Some em ambos os lados da segunda equação
Retire a raiz de índice em ambos os lados da segunda equação
Dessa forma, nossa região está compreendida no intervalo .
Ao esboçarmos o gráfico dessas funções, observa-se que neste intervalo, . Dessa forma, para encontrar a área da região , devemos calcular a seguinte integral:
.
Lembre-se que:
- A integral de uma potência é calculada por: .
- A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
- A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: , tal que é a antiderivada da função e .
Sabendo que , calcule a integral mais interna utilizando a regra da potência
Aplique os limites de integração
Calcule a integral, aplicando a regra da soma e sabendo que .
Aplique os limites de integração
Calcule as potências
Some as frações
Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.
Veja a imagem em anexo: os gráficos das funções foram esboçados no plano cartesiano. Em azul, temos a curva ; em vermelho, a curva ; em laranja, a região compreendia entre as curvas.