Matemática, perguntado por deialsanches, 9 meses atrás

Achar a área entre as curvas y = x^3

e y = √x.

Soluções para a tarefa

Respondido por SubGui
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Resposta:

\boxed{\bold{\dfrac{5}{12}~u.~a}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais duplas.

Seja D a região compreendida entre as funções f(x) e g(x), em um intervalo fechado [a,~b]. Sua área é calculada pela integral dupla: \displaystyle{\int\int_D\,dA.

O elemento de área dA é determinado de acordo com o Teorema de Fubini. Para integrais duplas, ele pode assumir as formas: dA=dy\,dx ou dA=dx\,dy. Lembre-se que a última variável a ser integrada deve apresentar limites numéricos.

Neste caso, ao determinarmos os limites de integração (que podem ser dados pela questão) ou encontrados, esboçamos o gráfico das funções e analisamos seu comportamento neste intervalo.

Considerando que, em todo este intervalo,  f(x)>g(x), a área da região D será calculada pela integral: \displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.

Sejam as curvas y=x^3 e y=\sqrt{x}. Igualamos as funções para encontrarmos os limites de integração:

x^3=\sqrt{x}

Eleve ambos os lados ao quadrado

x^6=x

Subtraia x em ambos os lados da equação

x^6-x=0

Fatoramos a equação

x(x^5-1)=0

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, assim temos:

x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^5-1=0

Some 1 em ambos os lados da segunda equação

x=0~~~\mathtt{ou}~~~x^5=1

Retire a raiz de índice 5 em ambos os lados da segunda equação

x=0~~~\mathtt{ou}~~~x=1

Dessa forma, nossa região D está compreendida no intervalo 0\leq x\leq1.

Ao esboçarmos o gráfico dessas funções, observa-se que neste intervalo, \sqrt{x}>x^3. Dessa forma, para encontrar a área da região D, devemos calcular a seguinte integral:

\displaystyle{\int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt{x}}\,dy\,dx.

Lembre-se que:

  • A integral de uma potência é calculada por: \displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1.
  • A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
  • A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado [a,~b] é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: \displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a), tal que F(x) é a antiderivada da função f(x) e \dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x).

Sabendo que \displaystyle{\int\,dy=\int1\,dy=\int y^0\,dy, calcule a integral mais interna utilizando a regra da potência

\displaystyle{\int_0^1y~\biggr|_{x^3}^{\sqrt{x}}\,dx

Aplique os limites de integração

\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}-x^3\,dx

Calcule a integral, aplicando a regra da soma e sabendo que \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}.

\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^4}{4}~\biggr|_0^1

Aplique os limites de integração

\dfrac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^4}{4}-\left(\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^4}{4}\right)

Calcule as potências

\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}

Some as frações

\dfrac{5}{12}

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.

Veja a imagem em anexo: os gráficos das funções foram esboçados no plano cartesiano. Em azul, temos a curva y=x^3; em vermelho, a curva y=\sqrt{x}; em laranja, a região compreendia entre as curvas.

Anexos:
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