Question

ABCD é um quadrado e A(-2,1) e B(1,5) são vertices consecutivos. Determine as equações das retas suporte dos lado AD e BC​

Answer 1

Utilizando a condição de perpendicularidade da geometria analítica temos que

$\longrightarrow\Large{\boxed{\mbox{a reta suporte do lado AD \'e:}\,\, y=\dfrac{-3x}{4}-\dfrac{2}{4}}}$

$\longrightarrow\Large{\boxed{\mbox{a reta suporte do lado BC \'e:}\,\, y=\dfrac{-3x}{4}+\dfrac{23}{4}}}$

Se A(-2,1) e B(1,5) são vértices consecutivos de um quadrado, então as retas suportes do lado AD e BC são perpendiculares a reta suporte do lado AB, e o critério de perpendicularidade é que o produto dos coeficientes angulares seja -1

• Determinando a reta do lado suporte AD

Seja $m_{AD}$ o coeficiente angular da reta AD e $m_{AB}$ o coeficiente angular da reta AB, temos que

$m_{AD}\cdot m_{BC}=-1$

Como temos que A(-2,1) e B(1,5), o coeficiente angular de AB é dado por

$m_{AB}=\dfrac{5-1}{1-(-2)}\\\\\\m_{AB}=\dfrac{4}{3}$

Logo o coeficiente angular de BC será:

$\dfrac{4}{3}\cdot m_{BC}=-1\\\\\\m_{BC}=\dfrac{-3}{4}$

A fórmula para obter a equação de uma reta dado um ponto e seu coeficiente angular é

$y-y_0=m(x-x_0)$

Onde m é o coeficiente angular e $x_0$ e $y_0$ são as coordenadas do ponto por onde a reta passa, temos que AD passa por A(-2,1) e seu coeficiente angular $m_{AB}=\dfrac{-3}{4}$, logo a reta AD vai ser dada por

$y-1=\dfrac{-3}{4}(x-(-2))\\\\\\y-1=\dfrac{-3x}{4}-\dfrac{3}{4}\cdot2\\\\\\y=\dfrac{-3x}{4}-\dfrac{6}{4}+1\\\\\\\boxed{AD:y=\dfrac{-3x}{4}-\dfrac{2}{4}}$

Analogamente podemos obter a reta BC encontrando seu coeficiente angular e um ponto por onde ela passa, porém BC é perpendicular a AB, logo

$m_{BC}\cdot m_{AB}=-1$

Seja $m_{AB}=\dfrac{4}{3}$ como já haviamos calculado, temos então que

$m_{BC}\cdot \dfrac{4}{3}=-1\\\\\\m_{BC}=\dfrac{-3}{4}$

Logo, utilizando novamente a fórmula

$y-y_0=m(x-x_0)$

Uma vez que BC passa por B(1,5)

$y-5=\dfrac{-3}{4}(x-1)\\\\\\y=\dfrac{-3x}{4}+\dfrac{3}{4}+5\\\\\\\boxed{BC:y=\dfrac{-3x}{4}+\dfrac{23}{4}}$

Para saber mais: https://brainly.com.br/tarefa/20558054