Question

abcd é um quadrado de lado 2a. Os arços de circunferência tem centros em "a" e "c". Calcular a área da região sombreada

Answer 1

Calculando as áreas dos triângulos Δbcd=Δabd=1/2.base.h(altura) = 1/2.(2a).(2a)  ⇒ Δbcd=Δabd = 2a²

Calculando as áreas do setor circular, Asetor bcd=Asetor abd e o ângulo central da figura (setor circular)=90º=π/2

Fazendo uma regra de três para achar a área do setor circular:

360º=2π ------------------------------------------------- π . r²

Ф (ângulo central do setor)  ------------  Asetor circular

Asetor . 2π = Ф . π. r²   ⇒ corta-se os π, fica:

Asetor = Ф . r²/2, calculando:  Ф=90º=π/2

Asetor bcd=Asetor abd = Ф . r²/2 =  (π/2).(2a)²/2 = 4πa²/4 ⇒    

Asetor bcd=Asetor abd = πa²

A área hachurada será:

Ahach = (Asetor bcd - Δbcd) + (Asetor abd - Δabd), substituindo:

 Ahach = (πa² - 2a²) + (πa² - 2a²)  ⇒   Ahach = 2πa² - 4a²  ⇒  

Ahach =  2a²( π- 2)   (área sombreada)