Question

ABCD é um quadrado cujo lado mede 10 cm. M é um ponto que se desloca de A para B e “arrasta” o ponto N, que assim se desloca à mesma velocidade de D para A.

As dimensões do triângulo AMN dependem da posição do ponto M. Por exemplo:


a) Se o ponto M se deslocar 4 cm, ou seja, ¯AM=4 cm, qual é o perímetro do triângulo AMN?

b) Designando por x o deslocamento do ponto M, ou seja, ¯AM=x, determine a equação que define o perímetro do triângulo AMN em função de x.

Answer 1

(a) O perímetro do triângulo AMN é 14 + 2√21 cm.

(b) O perímetro do triângulo AMN em função de x é P(x) = 10 + x + √100 - x².

Se M é um ponto que percorre o lado AB e N é um ponto que percorre o lado DA, temos que o tamanho do segmento MN é sempre igual a 10 cm.

Como AMN é sempre retângulo, o teorema de Pitágoras é válido para qualquer valor de AM.

a) Se M se deslocar 4 cm, teremos as seguintes medidas:

AM = 4 cm

MN = 10 cm

10² = 4² + AN²

100 = 16 + AN²

AN² = 84

AN = 2√21 cm

O perímetro de AMN será:

P = 4 + 10 + 2√21

P = 14 + 2√21 cm

b) Seja x igual a AM, temos que no teorema de Pitágoras, o valor de AN será:

MN² = AM² + AN²

AN² = 10² - x²

AN = √100 - x²

O perímetro pode ser definido pela função abaixo:

P(x) = 10 + x + √100 - x²