Question

ABC é um triângulo retângulo no qual o ângulo C=30. A Bissetriz do ângulo agudo B intercepta o cateto AC em D. Calcule a Razão AD/DC

Answer 1

Primeiro vou estabelecer uma relação trigonométrica entre os lados AC e AB do triângulo retângulo ABC, pois será útil futuramente. A relação dos dois, tomando como base o ângulo do ponto C, é: tg 30°= AB/AC  (cateto oposto sobre cateto adjacente).

Ao traçar a bissetriz do ângulo em B, será formado um novo triângulo retângulo, ADB. Essa bissetriz será a hipotenusa, o lado AD um cateto e o lado AB outro cateto. Agora que o ângulo B foi divido ao meio, ele vale 30°. O ângulo formado no ponto D é de 60°, pois a soma dos ângulos B e D tem que ser 90° (são ângulos complementares).

Com base nisso, vamos estabelecer outra relação importante nesse novo triângulo (ADB). Tomando como referente o ângulo do ponto D, que vale 60°, temos: tg 60°= AB/AD.

tg 30°= √3/3
tg 60°= √3

Conhecendo os valores dessas tangentes, podemos montar um sistema de equações:

I)  tg 30°= AB/AC
II) tg 60°= AB/AD

Substituindo os valores das tangentes:

I)  √3/3= AB/AC
II) √3= AB/AD

Como AB aparece nas duas equações, vamos isolá-lo na segunda equação

II) √3= AB/AD
     AD√3= AB
     AB= AD√3

Agora vamos substituir o AB pelo (DA√3), na primeira equação:

I) √3/3= AB/AC
   √3/3= AD√3/AC

Agora vamos isolar o AD, pois ele é o segmento que desejamos colocar em função do lado AC, lado do qual ele faz parte na figura do triângulo ABC.

√3/3= (AD√3)/AC
(AC√3)/3= AD√3
(AC√3)/(3√3)= AD
AC/3= DA
AD= AC/3

Assim, calculamos que o seguimento AD vale um terço do segmento AC.

O lado AC do triângulo ABC é compreende os segmentos AD e DC.
Como AD vale um terço do lado AC, DC será o resto que falta para completar AC.

DC= AC-AD
DC= AC-(AC/3)
DC= 2AC/3

Ou seja DC vale dois terços de AC.

Chegamos à seguinte conclusão:

AD/DC=
(AC/3)/(2AC/3)=
(AC/3)*(3/2AC)=
AC/2AC=
1/2 ou 0,5

A razão AD/DC vale 1/2 ou 0,5.