Question

ABC é um triângulo isósceles, com  = 40º e AB = AC. Marca-se D sobre AC e E sobre AB de forma que DBC = 35º e ECD = 15º. Calcule o ângulo EDB.

Answer 1

A solução está escrita na imagem em anexo!!!

Na solução deste problema será usado a fórmula da soma dos ângulos internos de um triângulo (A+B+C=180º) e também dois casos de congruência de triângulos (ALA, LAL) que são fundamentais na finalização do problema!!!   aqcompanhe no anexo

Answer 2

Olá, StorClaudio.

 

No desenho em anexo, estão demonstradas as construções geométricas constantes do enunciado do exercício.

 

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow 40\º+\hat{B}+\hat{C}=180\º \Rightarrow \hat{B}+\hat{C}=140\º\ (i)$

 

Como  $\triangle ABC$  é isósceles  $\Rightarrow \hat{B}=\hat{C}$

 

Substituindo em (i), temos:

 

$\hat{B}+\hat{B}=\hat{C}+\hat{C}=140\º \Rightarrow 2\hat{B}=2\hat{C}=140\º \Rightarrow \hat{B}=\hat{C}=70\º \Rightarrow$

 

$<var>\begin{cases} \hat{EBD}+\hat{CBD}=70\º \Rightarrow \hat{EBD}+35\º=70\º \Rightarrow \hat{EBD}=35\º \\ \hat{BCE}+\hat{BCD}=70\º \Rightarrow \hat{BCE}+15\º=70\º \Rightarrow \hat{BCE}=55\º \end{cases}</var>$

 

No  $\triangle BFC$  temos:

 

$<var>\hat{BFC}+\hat{FCB}+\hat{CBF}=180\º \Rightarrow \hat{BFC}+55\º+35\º=180\º \Rightarrow \\ \hat{BFC}=90\º \Rightarrow \hat{EFB}=\hat{EFD}=\hat{CFD}=90\º \text{ (complementares e} \\ \text{opostos pelo v\'ertice)}</var>$

 

No  $\triangle BFE$  temos:

 

$<var>\hat{EBF}+\hat{BFE}+\hat{FEB}=180\º \Rightarrow 35\º+90\º+\hat{FEB}=180\º \\ \Rightarrow \hat{FEB}=55\º</var>$

 

Os triângulos  $\triangle BDE \text{ e } \triangle BDC$  possuem um lado igual em comum  $(\overline{BFD})$  e dois ângulos iguais  $<var>(\hat{EBD}=\hat{CBD}=35\º \text{ e } \hat{BEF}=\hat{BCF}=55\º).</var>$

 

Pelo critério LAA (lado, ângulo, ângulo), são, portanto, congruentes  $\Rightarrow \overline{EF}=\overline{FC}$

 

Isto implica que os triângulos  $<var>\triangle DFE \text{ e } \triangle DFC</var>$  também são congruentes, pelo critério LAL (lado, ângulo, lado), pois possuem dois lados iguais  $(\overline{EF}=\overline{FC} \text{ e }$

$\overline{DF} \text{, este em comum})$  e um ângulo igual  $<var>(\hat{DFE}=\hat{DFC}=90\º).</var>$

 

Portanto, como  $\triangle DFE \text{ e } \triangle DFC$  são congruentes, temos que

$<var>\hat{FED}=\hat{DCF}=15\º</var>$

 

Finalmente:

 

$<var>\hat{FED} + \hat{EFD} + \hat{EDF} = 180\º \Rightarrow</var>$

$<var>15\º+90\º+\hat{EDF}=180\º \Rightarrow \hat{EDF}=75\º</var>$

 

$<var>\therefore \boxed{\hat{EDB}=\hat{EDF}=75\º}</var>$