Question

∆ABC, AB=10 cm, CD =21 cm e ACB = BAD. Calcule BD

Answer 1

Podemos utilizar neste exercício a semelhança de triângulos.

Obs.: Para facilitar, considere o desenho anexado.

Vamos então verificar que os triângulos ABC e ABD são semelhantes.

Para que dois triângulos sejam semelhantes, seus três ângulos internos devem ter a mesma medida, no entanto, se pudermos garantir que haja dois ângulos semelhantes, como soma dos ângulos internos de todo triangulo é sempre uma constante (180°), o terceiro angulo será também igual.

Assim, precisamos achar dois pares de ângulos semelhantes nos triângulos.

Perceba, na figura, que já temos um par de ângulos semelhantes (x) marcados com um "tracinho". Podemos ver facilmente também que o angulo no vértice B (z) é comum aos dois triângulos e, portanto, semelhante.

Pela soma dos ângulos internos, podemos afirmar que o terceiro angulo (y) será também semelhante.

Dessa forma, concluímos que, de fato, os dois triângulos são semelhantes e podemos, então, achar relações entre as suas medidas.

$\dfrac{^{~~Lado~oposto~ao}_{angulo~x~no~\triangle_{ABC}}}{^{~~Lado~oposto~ao}_{angulo~x~no~\triangle_{ABD}}}~=~\dfrac{^{~~Lado~oposto~ao}_{angulo~y~no~\triangle_{ABC}}}{^{~~Lado~oposto~ao}_{angulo~y~no~\triangle_{ABD}}}$

Vamos substituir as informações dadas no enunciado:

$\dfrac{AB}{BD}~=~\dfrac{BD+CD}{AB}\\\\\\\dfrac{10}{BD}~=~\dfrac{BD+21}{10}\\\\\\Multiplicando~Cruzado\\\\\\BD\cdot(BD+21)~=~10\cdot10\\\\\\BD^2~+~21BD~=~100\\\\\\\boxed{BD^2~+~21BD~-~100~=~0}$

Utilizando Bhaskara, temos:

$\Delta~=~21^2-4\cdot1\cdot(-100)~=~841\\\\BD'~=~\dfrac{-21+\sqrt{841}}{2}~=~\dfrac{-21+29}{2}~=~4~~\boxed{\checkmark}\\\\BD''~=~\dfrac{-21-\sqrt{841}}{2}~=~\dfrac{-21-29}{2}~=~-25~~\boxed{\times}$

Temos então que o único valor possível para BD é 4 cm.