Question

Abaixo temos um hexágono regular de perímetro 12 cm inscrito em uma circunferência de raio R e, ainda, seis outras semicircunferências com diâmetro nos lados do hexágono.

Figura 1 - Hexágono​ inscrito.

Fonte: elaborado pelo professor (2021)

Assinale a alternativa que indica, em centímetros quadrados, o valor que chega mais próximo da área da região destacada, sendo π = 3,14.

Answer 1

O valor da área destacada é aproximadamente 7,26 cm².

EXPLICAÇÃO PASSO-A-PASSO

Primeiramente, essa é uma questão díficil de geometria.

Para resolvê-la, eu primeiramente raciocinei em cima das imagens. Procurei desenhar para entender como chegar na solução.

Antes de olhar a resolução, procure entender a imagem em anexo.

Durante a resolução, favor consultar a imagem em anexo quando necessário.

Eu dividi em 12 imagens: IMAGEM 1, IMAGEM 2, ...

IMAGEM 1

O perímetro do hexágono é 12 cm.

O hexágono tem 6 lados.

Logo, cada lado tem:

12 ÷ 6 = 2 cm

Cada lado do hexágono tem 2 cm.

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A soma dos ângulos internos de um polígono regular é dada pela fórmula:

Sn = 180 × ( n -2 )

Sn = soma dos ângulos internos

n = número de lados

Substituindo os valores

Sn = 180 × ( 6 -2 )

Sn = 180 × 4

Sn = 720º

Logo, a soma dos ângulos internos do hexágono é igual a 720º

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Por fim, é preciso conhecer quanto vale cada ângulo interno.

O ângulo interno de um polígono regular é dada pela fórmula:

$ai = \frac{Sn}{n}$

$ai = \frac{720}{6}$

$ai = 120$⁰

IMAGEM 2

Observe ao traçar um reta divindo o hexágono ao meio, o ângulo de 120º foi cortado pela metade.

A metade do ângulo é 60º e está representado na imagem.

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Foi formado também um triângulo retângulo, cuja hipotenusa tem lado 2 cm e um dos catetos eu chamei de x.

IMAGEM 3

Para facilitar a visualização, eu desenhei o triângulo a parte.

O ângulo interno do hexágono vale 120º.

Metade do ângulo vale 60º.

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Para descobrir o x, pode-se usar o cosseno de 60º.

$cos 60 = \frac{cateto.adjacente}{hipotenusa}\\\\\\\frac{1}{2} = \frac{x}{2}\\\\2x = 2\\\\x = 1 cm$

IMAGEM 4

Para facilitar a visualização, eu desenhei em vermelho a circunferência.

Note que o diâmetro da circunferência é igual o lado do hexágono.

d = l

IMAGEM 5

Nesta imagem, eu liguei por meio meio de uma reta os vértices opostos do héxagono. São as linhas azuis.

Note que foram formados 6 triângulos equiláteros iguais no hexágono.

A circunferência em laranja foi dividido em 6 partes.

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É preciso descobrir o diâmetro da circunferência em laranja.

Já foi descoberto o valor de x, que é 1 cm.

x = 1cm

Ao observar a IMAGEM 2, é possível observar a parte central (em verde) vale 2 cm.

O diâmetro ( d ) é igual a

d = 1 cm + 2cm + 1cm

d = 4 cm

O diâmetro é igual a 4cm

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O raio é o diâmetro divido por 2.

$r = \frac{d}{2} \\\\r = \frac{4}{2}\\\\r = 2 cm$

O raio é igual a 2 cm.

IMAGEM 6

Para facilitar a visualização, eu desenhei a figura a parte.

IMAGEM 7

Essa é a figura da IMAGEM 6, sendo que está colorido em azul.

A parte em azul é  $\frac{1}{6}$  do círculo laranja da IMAGEM 5.

Para descobrir quanto vale a área da parte em azul, é preciso descobrir a área da circunferência e dividir por 6.

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A área do círculo laranja é:

A = π × r²

A = área

π = pi

r = raio

Substituindo os valores:

A = π × 2²

A = 4π cm²

A área do círculo é 4π cm².

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A área da parte em azul é

Aazul = Acírculo / 6

Aazul = 4π / 6

Aazul = 2π / 3

A área azul é igual a 2π/3 cm²

IMAGEM 8

É preciso descobrir a área do círculo vermelho.

O diâmetro é igual a 2cm.

O raio é o diâmetro divido por 2

O raio é 1cm

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A = π × r²

A = π × 1²

A = π

A área do círculo vermelho vale π

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A metade da área do círculo vermelho ígual π / 2

IMAGEM 9

Nesta imagem, está um triângulo laranja.

É preciso calcular a área dele.

A base do triângulo é diâmetro é lado hexágono.

b = 2cm

A altura do triângulo é dado pela fórmula.

$h = l \frac{\sqrt{3} }{2} \\\\h = 2 \frac{\sqrt{3} }{2} \\\\h = \sqrt{3} cm$

Logo, á área do triângulo laranja é:

A = b × h / 2

A = área

b = base

h = altura

Substituindo os valores:

A = b × h / 2

A = 2 × $\sqrt{3}$ / 2

A = $\sqrt{3}$ cm²

A área do triângulo laranja é $\sqrt{3}$ cm²

IMAGEM 10

A área verde ( Av ) é igual a área azul (Az) (IMAGEM 7) menos a área laranja (Al) (IMAGEM 9)

Av = Az - Al

Av =  2π/3 -  $\sqrt{3}$ cm²

A área verde é igual a [ 2π/3 -  $\sqrt{3}$  ] cm²

IMAGEM 11

Agora, é preciso calcular a área amarela.

A área amarela ( Aa ) é igual a metade da área vermelha (Aver) (IMAGEM 8) menos a área verde (Averde) (IMAGEM 10)

Aa = Aver - Averde

Aa = π / 2  - (2π/3 -  $\sqrt{3}$)

A área amarela é igual a [ π / 2  - (2π/3 -  $\sqrt{3}$)]  cm²

IMAGEM 12

Chegamos agora na última imagem.

Parabenizo por ter chegado até aqui =)

A área da região destacada ( Ad ) é igual a 6 × área amarela ( Aa )( IMAGEM 11 )

Ad = 6 ×[ π / 2  - (2π/3 -  $\sqrt{3}$)]

• Adotando:

π = 3,14

$\sqrt{3}$ = 1,73

• Temos:

Ad = 6 × [ π / 2  - (2π/3 -  $\sqrt{3}$)]

Ad = 6 × [ 3,14 / 2  - (2 × 3,14 / 3 -  1,73)]

Ad = 6 × [ 1,57  - (6,28 / 3 -  1,73)]

Ad = 6 × [ 1,57  - (2,09 -  1,73)]

Ad = 6 × [ 1,57  - (0,36)]

Ad = 6 × 1,21

Ad = 7,26 cm²

A área destacada vale, aproximadamente, 7,26 cm².

PARA SABER MAIS

Como calcular o ângulo interno de um polígono regular (e também soma dos ângulos internos)

https://brainly.com.br/tarefa/17221134

Bons estudos, bons aprendizados!