Question

Abaixo estão representados os gráficos das funções f(x) = ax² + bx e g(x) = 2x + 2, com x percorrendo o conjunto dos números reais. Os gráficos de f e g se tocam em dois pontos, sendo que um deles pertence ao eixo x.

Quais os valores de a e b?​

Answer 1

f(x) = a.x² +b.x -> f(x) = x.( a.x +b)

 Encontrando as raízes de f(x) vamos encontrar que uma das raízes é igual a 0:

x.( a.x +b) = 0

x = 0 / ( a.x +b)

x' = 0

 Como podemos ver no gráfico, a outra raiz de f(x) diferente de 0 é a mesma da g(x), então encontrando a raiz de g(x) podemos encontrar a outra raiz de f(x):

g(x) = 2.x +2

2.x +2 = 0

2.x = -2

x = -1

 Então as raízes de f(x) são:

x' = 0

x'' = -1

 Sabemos que o y do vértice é -1, então:

$y_v=-\frac{b^2-4.a.c}{4.a}\\-1=-\frac{b^2-4.a.0}{4.a}\\-1=-\frac{b^2}{4.a}\\-4.a=-b^2\\b^2=4.a\\a=\frac{b^2}{4}$

 Substituindo x por -1 na equação vamos ter:

a.(-1)² +b.(-1) = 0

a -b = 0

a = b

 Agora podemos substituir b:

a = a² /4

a² = 4.a

a² -4.a = 0

a.( a -4) = 0

 Agora temos duas possibilidades:

a' = 0

a'' = 4

 Como devemos ter a ≠ 0, então a = 4 e b = 4

Dúvidas só perguntar!