a² = pb²
*sejam a,b e p números naturais. Como eu posso DEMONSTRAR que p é um número composto, isto é, pode ser escrito como um produto de números primos?
Soluções para a tarefa
Teoria dos números
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Seja um número que pode ser decomposto em fatores primos da seguinte forma:
Quando falamos que estamos dizendo que "é um pedaço" de . Isto é, pode ser decomposto de modo a escolhermos alguns fatores primos que integram . E é composto pelo(s) fator(es) que faltam em para que este torne-se .
Exemplo:
Logo,
Note que x apresenta os fatores que não existem em b para que ele seja a.
Obs.: caso b apresente um fator que não existe em a, teremos: x não pertence aos naturais, mas sim, aos racionais.
Por isso,
Sendo assim, vamos elevar a equação ao quadrado.
Com x² = p.
Observe que p deve ser um número composto, pois mesmo que x seja primo, quando elevado ao quadrado, o fator também o será, isso faz com que ele possua pelo menos dois fatores primos idênticos.
Síntese
Assuma que p é primo.
Porém, assumimos que p é primo (não pode ser decomposto em fatores, a menos que um deles seja 1 e o outro o próprio número p)
Logo p não pode ser primo, então p é composto.
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