Question

a² = pb²

*sejam a,b e p números naturais. Como eu posso DEMONSTRAR que p é um número composto, isto é, pode ser escrito como um produto de números primos?​​

Answer 1

Teoria dos números

Obs.: leia a solução pelo navegador.

   Seja $a$ um número que pode ser decomposto em fatores primos da seguinte forma:

$a=k_1 \cdot k_2 (...)\cdot k_n$

   Quando falamos que $a=x\cdot b$ estamos dizendo que $b$ "é um pedaço" de $a$. Isto é, $b$ pode ser decomposto de modo a escolhermos alguns fatores primos que integram $a$. E $x$ é composto pelo(s) fator(es) que faltam em $b$ para que este torne-se $a$.

Exemplo:

$a=40=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

$b=4=2\cdot 2$

Logo,

$40=x\cdot 4\leftrightarrow x=2\cdot 5$

   Note que x apresenta os fatores que não existem em b para que ele seja a.

Obs.: caso b apresente um fator que não existe em a, teremos: x não pertence aos naturais, mas sim, aos racionais.

$x=\dfrac{fatores~~que~~faltam~~em~~b}{fatores~~que~~faltam~~em~~a} \therefore x\in \mathbb{Q}\rightarrow absurdo.$

   Por isso,

$a=x\cdot b\quad(\alpha)$

   Sendo assim, vamos elevar a equação $(\alpha)$ ao quadrado.

$a^2=x^2\cdot b^2\rightarrow a^2=p\cdot b^2$

   Com x² = p.

   Observe que p deve ser um número composto, pois mesmo que x seja primo, quando elevado ao quadrado, o fator também o será, isso faz com que ele possua pelo menos dois fatores primos idênticos.

Síntese

   Assuma que p é primo.

$a^2=p\cdot b^2\rightarrow \dfrac{a^2}{b^2}=p\rightarrow p=(\dfrac{a}{b})^2\rightarrow p=(\dfrac{a}{b})\cdot (\dfrac{a}{b})$

   

   Porém, assumimos que p é primo (não pode ser decomposto em fatores, a menos que um deles seja 1 e o outro o próprio número p)

$\dfrac{a}{b}=1\quad \wedge\quad \dfrac{a}{b}=p\therefore absurdo.$

   Logo p não pode ser primo, então p é composto.

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