Question

(a/x)+(b/x-1)+(c/x-2) = 18x²-13x+2 Calcule a, b e c.

demonstre com riqueza de detalhes.

Answer 1

Como a equação depois da igualdade é uma equação do segundo grau, significa que a equação antes da igualdade também é uma equação do segundo grau. Na verdade a igualdade significa que ambas são a mesma equação: ambas equações de segundo grau. Apenas apresentadas de uma forma diferente, mas que após efetuar os devidos cálculos se chega a  mesma equação.
Para acharmos as raízes de uma equação precisamos igualá-la a 0. Assim, podemos igualar a 0 qualquer uma das equações apresentadas, de forma a encontrar suas raízes.

Assim:
$18x^{2}-13x+2=0$

Mas o que nos interessa aqui é a equação antes da igualdade, pois precisamos saber os valores de a, b e c. Portanto, vamos desenvolvê-la:
$\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}=0$

Tirando o mmc:
$\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x-2}=0\\ \\ \\ \dfrac{a\left(x-1\right)\left(x-2\right)+b\cdot x\left(x-2\right)+c\cdot x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=0\\ \\ \\ a\left(x-1\right)\left(x-2\right)+b\cdot x\left(x-2\right)+c\cdot x\left(x-1\right)=0$

Continuando...
$a\left(x-1\right)\left(x-2\right)+b\cdot x\left(x-2\right)+c\cdot x\left(x-1\right)=0\\ \\ a\left(x^{2}-2x-x+2\right)+bx^{2}-2bx+cx^{2}-cx=0\\ \\ ax^{2}-2ax-ax+2a+bx^{2}-2bx+cx^{2}-cx=0\\ \\ ax^{2}-3ax+2a+bx^{2}-2bx+cx^{2}-cx=0\\ \\ ax^{2}+bx^{2}+cx^{2}-3ax-2bx-cx+2a=0$

Agora vamos colocar em evidência os termos semelhantes:
$ax^{2}+bx^{2}+cx^{2}-3ax-2bx-cx+2a=0\\ \\ x^{2}\left(a+b+c\right)-x\left(3a+2b+c\right)+2a=0$

Vamos comparar as duas equações (lembrando que são iguais):
$18x^{2}-13x+2=0\\ \\ x^{2}\left(a+b+c\right)-x\left(3a+2b+c\right)+2a=0$

Observamos que:
$a+b+c=18\\ 3a+2b+c=13\\ 2a=2$

Chegamos a um sistema onde podemos enfim encontrar os valores de a,b e c:
$2a=2\Rightarrow a=1$

Substituindo o valor de a na primeira equação e multiplicando por -1 para encontrarmos o valor de b:

$a+b+c=18 \ \ (-1)\Rightarrow -a-b-c=-18\Rightarrow -1-b-c=-18$

$-1-b-c=-18\\ 3\cdot 1 +2b+c=13\\ \\ 2+b=-5\Rightarrow b=-7$


Por fim achamos o valor de c:

$a+b+c=18\Rightarrow 1-7+c=18\Rightarrow c=24$

Agora só para conferir:

$\left(a+b+c\right)x^{2} -\left(3a+2b+c\right)x+2a\\ \\ \left(1-7+24\right)x^{2} -\left(3\cdot 1+2\cdot\left(-7\right)+24\right)x+2\cdot 1\\ \\ 18x^{2} -13x+2$

Assim, mostramos que a = 1; b = -7 e c = 24.