Matemática, perguntado por nicolesena85, 10 meses atrás

A) Verifique que n^3+1 =(n+ 1)(n^2-n+1)
b) Mostre que se n^3 + 1 é um número primo então n^3 + 1 é o número 2

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo
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Vamos analisar a construção de divisibilidade e condições para valores primos:

A) Verifique que n^3+1 =(n+ 1)(n^2-n+1).

Para fazer esta verificação é bem simples, basta multiplicar o lado direito e vermos que é possível simplificando chegar no lado esquerdo:

(n+1) . (n² - n + 1)

Fazendo a distributiva:

n . n² - n . n + n . 1 + n² - n + 1

n³ - n² + n + n² - n + 1

Cortando os termos que somam e se subtraem temos:

n³ + 1

E assim vemos que de fato esta afirmação é verdadeira:

b) Mostre que se n^3 + 1 é um número primo então n^3 + 1 é o número 2.

Então temos o seguinte termo:

n³ + 1

Como vimos anteriormente, podemos reescrever este termo de outra forma:

(n+1) . (n² - n + 1)

Assim note que para qualquer valor natural que você substituir no lugar de n, o resultado da equação sempre será maior que n (pois é n³+1) e sempre será divisível pelo sucessor de n, sendo este n+1, pois ele está em evidência multiplicando o parenteses.

Só há uma excesão onde este valor vai ser o mesmo que o total, que é quando n for igual a 1, pois 1 não é considerado como primo, então o sucessor dele sendo 2 não quebra a regra de primos:

n = 1

(1+1) . (1² - 1 + 1) = 2 . 1 = 2

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