Question

A venda de uma companhia apresenta comportamento sazonal, sendo definido pela função:



Sendo V(t) o volume de vendas em unidades de produtos e t o tempo em meses. Determine o valor aproximado da derivada de V(t) para 2 e 4 meses e assinale a alternativa correta:
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ALTERNATIVAS

Em 2 meses a taxa de crescimento de vendas é de 471 unidades/mês e em 4 meses a taxa de queda nas vendas é de 471 unidades/mês.


Em 2 meses a taxa de crescimento de vendas é de 750 unidades/mês e em 4 meses a taxa de queda nas vendas é de 750 unidades/mês.


Em 2 meses a taxa de queda de vendas é de 750 unidades/mês e em 4 meses a taxa de crescimento nas vendas é de 750 unidades/mês.


Em 2 meses a taxa de queda de vendas é de 471 unidades/mês e em 4 meses a taxa de crescimento nas vendas é de 471 unidades/mês.


Em 2 meses a taxa de queda de vendas é de 750 unidades/mês e em 4 meses a taxa de crescimento nas vendas é de 471 unidades/mês.

Answer 1

Boa noite!

A função que descreve o volume de vendas é:

$V(t)=750+300\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Queremos saber a derivada da função para os instantes t=2 meses e t=4 meses. Para derivar essa função, precisamos lembrar de algumas regras das derivadas:

- A derivada de uma constante é sempre zero
- A derivada da função seno é a função cosseno
- A regra da cadeia (pois o argumento da função seno é uma função de t)

Observando essas regras, podemos calcular a derivada da função dada:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left[750+300\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t\right)\right]$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=300\frac{\text{d}}{\text{d}t}\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=300\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=300\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$

Agora, podemos determinar o valor da derivada nos instantes de tempo dados.

Para t = 2 meses:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}2\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\pi\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\cdot(-1)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-471$

Para t = 4 meses:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}t\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(\frac{\pi}{2}4\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\text{cos}\left(2\pi\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=150\pi\cdot{1}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=471$

Portanto, concluímos que em dois meses a taxa de queda de vendas é de 471 unidades/mês (sinal negativo) e em 4 meses a taxa de crescimento nas vendas é de 471 unidades/mês (sinal positivo).