Question

A velocidade V(t) = x′(t) = 2(3t + 1) 1 2 , no instante t de um corpo que está se movendo ao longo da trajetória x , é dada juntamente com a posição inicial x(0) = 4 do corpo. Determine o número inteiro mais próximo da posição do corpo x(t), no instante de tempo t = 8.

Answer 1

Resposta:

R: 59

Explicação:

u=3t+1          2∫√3t+1 * dt

du=3d*t             2∫√u  *  dt

dt=du/3              2∫u^1/2 *  dt  = 2∫u^1/2 * du/3

                                           2/3∫u^1/2 * du = 2/3 * u^3/2 / 3/2 + c

                                            2/3 * 2/3 * u^3/2 + c = 4/9 * u^3/2 + c

                                           X=4/9 * (3t+1)^3/2 + c

X(0) = 4/9 * 1 + c  =  4 → 4  –  4/9

C =  4/1 – 4/9 = C = 36/9  –  4/9 =  32/9

X(8) = 4/9 * (3*8 + 1)^3/2 + 32/9

X(8) = 4/9 * 125 + 32/9

X(8) = 500/9 + 32/9 = 59,11 COMO O PROBLEMA PEDE A RESPOSTA EM NUMERO INTEIRO = 59

Answer 2

Como a questão pede para determinar o número inteiro mais próximo do real valor da posição em t = 8 temos que x = 59.

Aplicações de Derivada e Integral

Dentro das aplicações da derivada podemos observar que a derivada de uma função de distância representa a velocidade instantânea e que a derivada da função de velocidade representa a aceleração instantânea em um determinado momento.

Considerando a relação entre a derivada e a integral indefinida podemos observar que a integral indefinida da função aceleração representa a função velocidade e que a integral indefinida da velocidade representa a função distância.

Logo para solucionarmos este problema basta integrar a velocidade em relação a t:

                               $x(t) = \int\limits {2(\sqrt{3t+1)}} \, dx$

Precisamos fazer uma mudança de variável para resolver:

                                         $u = 3t + 1 \\ du = 3 dx \\\\\frac{du}{3} = dx$

Substituindo então ficamos:

                                         $x(t) = \int\limits {2\sqrt{u}} \,\frac{du}{3} \\x(t) = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2} }\frac{2}{3} + C\\x(t) = \frac{4}{9} (3t + 1)^{\frac{3}{2}} + C$

Para descobrir o valor de C basta usar a condição inicial dada x(0) = 4 :

 

                                  $x(t) = \frac{4}{9} (3t + 1)^{\frac{3}{2}} + C\\4 = \frac{4}{9} (3.0 + 1)^{\frac{3}{2}} + C\\C = \frac{32}{9}$

Temos então que a posição é dada por:

                                   $x(t) = \frac{4}{9} (3t + 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{32}{9}$

Em t = 8 será:

                                    $x(8) = \frac{4}{9} (3.8+ 1)^{\frac{3}{2}} + \frac{32}{9} \\x(8) = \frac{4}{9}(25)^{\frac{3}{2}} + \frac{32}{9} \\x(8) = \frac{4}{9}5^3 + \frac{32}{9}\\x(8) = \frac{4}{9}125 + \frac{32}{9}\\x(8) = \frac{500}{9} + \frac{32}{9}\\x(8) = \frac{532}{9}\\x(8) = 59,1111..$

Como a questão pede para determinar o número inteiro mais próximo do real valor da posição em t = 8 temos que x = 59.

Veja mais sobre derivada e integral aplicadas à cinemática em:

https://brainly.com.br/tarefa/51447483

#SPJ2