Question

A velocidade de uma partícula que se move ao longo do eixo x varia com o tempo segundo a expressão v(t) = (80 - 4t2) m/s, onde t é dado em segundos. a) ache a aceleração média no intervalo de t = 0 a t = 3,0 s; b) determine a aceleração em t = 3,0 s.

Answer 1

Sabemos que:
$\displaystyle \frac{dx}{dt}=v(t)\\\\\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=a(t)\\\\\frac{da}{dt}=\frac{d^3x}{dt^3}=j(t)$
Derivada do espaço é a velocidade, derivada segunda do espaço (ou derivada da velocidade) é a aceleração e derivada terceira do espaço (ou derivada da aceleração) é o jerk [PARA O CASO DE ACELERAÇÃO QUE NÃO É CONSTANTE, TEMOS O JERK COMO TAXA DE VARIAÇÃO DA ACELERAÇÃO]
de forma análoga:
$\displaystyle \int j(t)\,dt=a(t)\\\\ \int\,a(t)\,dt=v(t)\\\\ \int\,v(t)\,dt=x(t)$
Pois a primitiva do jerk é aceleração, a primitiva da aceleração é a velocidade e primitiva da velocidade é o espaço deslocado.


$v(t)=80-4t^2$

a) aceleração média entre 0s e 3s $\bar{a}__{{0\to3}}$
a aceleração média é dada pela fórmula:
$\displaystyle \bar{a}_{_{a\to b}}(t)=\frac{a(b)-a(a)}{b-a}=\frac{\Delta a}{\Delta t}$
   i) calcular a(t)
      1) derivar a função da velocidade:
$\displaystyle \frac{d}{dt}v(t)=\frac{d}{dt}(80-4t^2)=\boxed{-8t}$
  
   ii) calcular a(t) em 0s e em 3s:
$\displaystyle a(0)=-8\cdot0=\boxed{0\,m/s^2}\\\\a(3)-8\cdot3=\boxed{-24\,m/s^2}$

   iii) calcular média de 0 até 3:
$\displaystyle \bar{a}_{_{0\to3}}=\frac{a(3)-a(0)}{3-0}=\frac{-24-0}{3-0}=\frac{-24}{3}=\boxed{-8\,m/s^2}$

aceleração média é -8m/s²
(Pelo teorema do valor médio dá pra fazer isso também)

b) determinar a aceleração em t = 3s
fizemos na questão anterior:
$a(t)=-8\cdot3=\boxed{-24\,m/s^2}$

Segue os gráficos abaixo