Question

A velocidade de uma partícula movendo-se numa reta é dada pela função v(t) = 3t² − 2t + 3. Encontre a posição da partícula depois de t = 2 segundos, sabendo
que depois de t = 1 segundos, a partícula fica a 5 metros da origem.

Answer 1

Temos uma equação de velocidade em que a aceleração é variável:
v(t) = 3t² − 2t + 3
Sabemos que a velocidade instantânea é dada pelo limite de da variação de valocidade pela variação de tempo, quando a variação de tempo tendo a 0, ou seja a derivada:
v(t)=dS(t)/dt
Então:
dS(t)/dt= 3t² − 2t + 3
dS= (3t² − 2t + 3)dt
Integrando ela (integral indefinida):
∫dS=∫ (3t² − 2t + 3)dt
Temos:
S(t)=3t³/3 -2t²/2 +3.t + C
S(t)=t³ - t² +3.t + C
Temos que descobrir o valor da constante C. Usamos a condição de contorno dada, para t=1 --> S=5
Então:
5=1³-1²+3.1+C
5=1-1+3+C
C=5-3=2
Então a função que descreve posição da partícula no tempo é:
S(t)=t³ - t² +3.t + 2

Agora é pedido a posição no tempo 2, então:
S(2)=2³-2²+3.2+2
S(2)=8-4+6+2
S(2)=4+6+2=12

Espero ter ajudado =)