Question

A variável aleatória discreta
X
assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de probabilidade de
X
é dada por:
P(X = 0) = P (X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a
P(X = 4) = P(X = 5) = b

P(X
≥
2) = 3P(X
<
2)

A variância de
X
é igual a :

Answer 1

Resposta:  $Var(X)=3$

Dados:

$\Omega=\{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\}$

$P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=a$

$P(X=4)=P(X=5)=b$

$P(X\geq2)=3P(X<2)$

Resolução:

    $P(X\geq2)=3P(X<2)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3[P(X=0)+P(X=1)]\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a+a+b+b=3(a+a)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2a+2b=3\times 2a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2b=6a-2a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2b=4a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b=2a$

Como a soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1, temos que:

   $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a+a+a+a+b+b=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4a+2b=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4a+2\times 2a=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4a+4a=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 8a=1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{8}$

Temos ainda que:

    $b=2a\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b=2\times\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{4}$

A Variância Amostral pode ser calculada através da seguinte expressão:

$Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

Lembremos ainda que:

$E(X)=\displaystyle\sum^n_{i=1}x_iP(X=x_i)$

E que:

$E(X^2)=\displaystyle\sum^n_{i=1}x_i^2P(X=x_i)$

Aplicando as fórmula a este exercício, temos que:

    $E(X)=\displaystyle\sum^6_{i=1}x_iP(X=x_i)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+...+5\times P(X=5)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{1}{8}+2\times\dfrac{1}{8}+3\times\dfrac{1}{8}+4\times\dfrac{1}{4}+5\times\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=0+\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{4}+\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{8}{8}+\dfrac{10}{8}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=\dfrac{24}{8}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X)=3$

    $E(X^2)=\displaystyle\sum^6_{i=1}x_i^2P(X=x_i)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=0^2\times P(X=0)+1^2\times P(X=1)+...+5^2\times P(X=5)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=0\times\dfrac{1}{8}+1\times\dfrac{1}{8}+4\times\dfrac{1}{8}+9\times\dfrac{1}{8}+16\times\dfrac{1}{4}+25\times\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=0+\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{16}{4}+\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{9}{8}+\dfrac{32}{8}+\dfrac{50}{8}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=\dfrac{96}{8}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow E(X^2)=12$

    $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Var(X)=12-3^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Var(X)=12-9\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow Var(X)=3$

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Answer 2

X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5.  

A função densidade de probabilidade de X é dada por:

P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a

P(X = 4) = P(X = 5) = b

P(X≥2) = 3P(X<2)

P[X=2]+P[X=3]+P[X=4]+P[X=5] = 3 *{ P[X=0}+P[X=1] }

a+a+b+b=3*(a+a)

2a+2b=6a

2b=4a

b=2a

A soma tem ser  ==> 4a+2b=1   ..sendo 2b=4a

4a+4a=1  ==>a=1/8    e  b=2a=1/4

A variância de X é igual a :

Var[X] =E[X²]-[E(X)]²

E[X] x1*P(X=x1)+....+xn*P[X=xn]

E(X) =0*1/8+1*1/8+2*1/8+3*1/8 +4 *1/4  +5 *1/4

E(X) =6/8 +9/4=24/8=3

E[X²] x1²*P(X=x1)+....+xn²*P[X=xn]

E[X²]=0²*1/8+1²*1/8+2²*1/8+3²*1/8 +4²*1/4+5² *1/4

E[X²]=14/8 +41/4 =7/4+41/4=12

Var[X]= 12  - (3)²

Var[X]= 12 -9

Var[X]=  3