Question

A variação da temperatura na direção de um vetor é dada pela derivada direcional da função T(x,y):
aT/av = aT/ax(x0, y0).cosα+aT/ay (x0, y0).senα
A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x, y) = x2 + y2 (T em ºC, x e y em cm).
Partindo-se da posição (3, 4) numa direção que forma um ângulo de 30º com o eixo X.
Podemos afirmar que a temperatura aumenta ou diminui? Qual o valor dessa variação?
Escolha uma:
a) Aumenta aproximadamente 9ºC a cada cm de deslocamento.
b) Diminui aproximadamente 9ºC a cada cm de deslocamento.
c) Aumenta aproximadamente 20ºC a cada cm de deslocamento.
d) Diminui aproximadamente 20ºC a cada cm de deslocamento

Answer 1

$\bamtrixT(x,y)=x^2+y^2\\\\ \frac{\partial T(x,y)}{\partial x} = 2x\\\\ \frac{\partial T(x,y)}{\partial x} = 2y\end$

o vetor gradiente será
$\vec \nabla T(x,y)= (2x , 2y)$


na direção que forma um angulo de 30º com o vetor u
$\boxed{D_u \nabla T(x,y)= 2x*cos(30) +2y*sen(30)}$

no ponto P(3,4)
$D_u \nabla T(3,4)= 2*3*cos(30) +2*4*sen(30)\approx 9,2 \; \frac{^\circ C}{cm}$


resposta a)