A umidade relativa do ar em uma determinada cidade foi medida das 6 horas da manhã de um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os dados obtidos estão representados pela função periódica abaixo. A expressão que descreve a criação da umidade do ar (dada em porcentagem) como função da hora do dia (dada pela variável t) é?
Por favor me ajudem!!
Soluções para a tarefa
A expressão que descreve a criação da umidade do ar é y = 70 - 40.sen(π.t/24 - π/4).
Note que o gráfico lembra a função sen(x) quando x está no intervalo [π, 2π], logo a função umidade do ar será em função do seno. A função será do tipo y = a + b.sen(r.t + q), onde a, b, r e q são constantes a serem determinadas.
A constante a representa o valor inicial, ou seja, quando t = 0. Logo, para t = 0, temos:
y = a + b.sen(0)
y = a
Se 70% é o valor inicial, temos que a = 70. No ponto t = 18 horas, temos que a umidade cai para 30%, ou seja, ela diminui 40 unidades. Como a função seno é limitada entre -1 e 1, temos que b é a constante que aumenta sua amplitude, então:
y = 70 - b.sen(rt)
30 = 70 + b.(1)
b = -40
Para funcionar como queremos, para t = 6, temos que sen(6r + q) = 0 e para t = 18 temos que sen(18t + q) = 1. Sabemos que sen(0) = 0 e sen(π/2) = 1, logo:
6r + q = 0; q = -6r
18r + q = π/2
18r - 6r = π/2
12r = π/2
r = π/24 e q = π/4
A função será:
y = 70 - 40.sen(π.t/24 - π/4)