Question

(a) Uma função exponencial relaciona a quantidade Q de certa substância química presente em um medicamento veterinário (em mg/litro), presente no sangue de um animal, em função do tempo decorrido x desde a administração desse medicamento. Sabendo que essa função é da forma Q(x) = a.b^x (expoente x apenas em b), determine os valores de a e de b, sabendo que o gráfico dessa função contém os pontos (0; 3) e (1; 1,5).

(b) Seja f(x)=2^(2x+1). Se a e b são tais que f(a) = 4.f(b), calcule o valor de a – b.

Answer 1

(a)

$Q(x) = a\cdot b^x$

No primeiro ponto: x = 0, Q(0) = 3:

$3 = a\cdot b^0$

Qualquer número elevado a 0 é 1:

$3 = a\cdot 1$

$\boxed{a = 3}$

No segundo ponto: x = 1, Q(1) = 1.5:

$1.5 = 3 \cdot b^1$

Qualquer número elevado a 1 é ele próprio:

$\dfrac{1.5}{3} =  b$

$\boxed{b = \dfrac{1}{2}}$

(b) $f(x) = 2^{2 \cdot x + 1}$

Substituindo x por a e por b:

$f(a) = 2^{2 \cdot a + 1}$

$f(b) = 2^{2 \cdot b + 1}$

Agora, sabendo que:

$f(a) = 4\cdot f(b)$

Substituimos f(a) e f(b) por suas expressões:

$2^{2 \cdot a + 1} = 4\cdot 2^{2 \cdot b + 1}$

Utilizando a propriedade:

$x^{y+z} = x^y \cdot x^z$

Reescrevemos como:

$2^{2 \cdot a} \cdot 2^1 = 4\cdot 2^{2 \cdot b}\cdot 2^1$

$2^{2 \cdot a} \cdot 2= 4\cdot 2 \cdot 2^{2 \cdot b}$

$2^{2 \cdot a} = \dfrac{4\cdot 2 \cdot 2^{2 \cdot b}}{2}$

$2^{2 \cdot a} = 4\cdot 2^{2 \cdot b}$

Agora, sabendo que:

$x^{y \cdot z} = \left(x^y\right)^z$

Reescrevemos a expressão:

$4^{a} = 4\cdot 4^{b}$

Utilizando novamente a propriedade: $x^{y+z} = x^y \cdot x^z$, reescrevemos:

$4^{a} = 4^{b+1}$

Agora para que a igualdade seja válida, com as bases iguais, os expoentes também precisam se igualar:

$a = b + 1$

O exercício quer a diferença entre a e b:

$a - b = b + 1 - b$

$\boxed{a - b = 1}$