Question

A um hexaedro regular é inscrita uma esfera E1 e circunscrita uma esfera E2. A razão entre as áreas das superfícies esféricas de E2 e E1 é

A- 2

B- 3

C- 4

D- 6

E- 8

Answer 1

A razão entre as áreas das superfícies esféricas é 3.

Vamos considerar que o raio da esfera E1 é igual a r e o raio da esfera E2 é igual a R.

Se o hexaedro está inscrito na esfera E1, então a diagonal do hexaedro coincide com o diâmetro da esfera E1.

A diagonal do hexaedro é igual a a√3. Já o diâmetro da esfera é igual a 2r.

Assim:

a√3 = 2r

r = a√3/2.

A área da superfície da esfera é igual a 4πr². Então:

A1 = 4π.(a√3/2)²

A1 = 4π.a².3/4

A1 = 3πa².

Se o hexaedro está circunscrito na esfera E2, então a medida do raio da esfera é metade do lado do hexaedro, ou seja, R = a/2.

A área da superfície da esfera E2 é igual a:

A2 = 4π(a/2)²

A2 = 4πa²/4

A2 = a²π.

A razão entre A1 e A2 é igual a 3πa²/πa² = 3.