A um hexaedro regular é inscrita uma esfera E1 e circunscrita uma esfera E2. A razão entre as áreas das superfícies esféricas de E2 e E1 é
A- 2
B- 3
C- 4
D- 6
E- 8
Soluções para a tarefa
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2
A razão entre as áreas das superfícies esféricas é 3.
Vamos considerar que o raio da esfera E1 é igual a r e o raio da esfera E2 é igual a R.
Se o hexaedro está inscrito na esfera E1, então a diagonal do hexaedro coincide com o diâmetro da esfera E1.
A diagonal do hexaedro é igual a a√3. Já o diâmetro da esfera é igual a 2r.
Assim:
a√3 = 2r
r = a√3/2.
A área da superfície da esfera é igual a 4πr². Então:
A1 = 4π.(a√3/2)²
A1 = 4π.a².3/4
A1 = 3πa².
Se o hexaedro está circunscrito na esfera E2, então a medida do raio da esfera é metade do lado do hexaedro, ou seja, R = a/2.
A área da superfície da esfera E2 é igual a:
A2 = 4π(a/2)²
A2 = 4πa²/4
A2 = a²π.
A razão entre A1 e A2 é igual a 3πa²/πa² = 3.
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