Matemática, perguntado por yurimed18, 10 meses atrás

A última copa do mundo começou com oito grupos de quatro seleções e a final foi entre as equipes da França e da Croácia. Qual seria a probabilidade destas duas seleções terem sido sorteadas para compor juntas um dos oito grupos iniciais?

Soluções para a tarefa

Respondido por numero20

Alternativa A: a probabilidade de que as seleções fiquem no mesmo grupo é 3/31.

Esta questão está relacionada com probabilidade. A probabilidade é uma razão, calculada através da fração entre o número de possibilidades de um evento ocorrer e o número total de possibilidades. Este valor, na forma decimal, pode variar de 0 a 1 e, consequentemente, de 0 a 100%.

Nesse caso, temos um total de 32 seleções. Uma vez que queremos calcular a probabilidade de suas seleções estarem no mesmo grupo, devemos considerar que uma delas vai cair num grupo qualquer.

Com isso, veja que, das 4 equipes, uma já foi definida. Assim, restam 3 possibilidades dentre as outras 31 equipes.

Portanto, a probabilidade de isso ocorrer é 3/31.

Respondido por luanafbh2

A Copa do Mundo funciona com regras específicas de escolha de chaves. Por exemplo nos grupos são escolhidos primeiro os cabeças de chave e depois os outros times. Atualmente, ocorre o seguinte fato: Se dois times estão no mesmo grupo, eles só podem se encontrar novamente na final. Na imagem há um esquema da organização dos embates da última Copa. Queremos então resolver o seguinte problema:

Dado que Croácia e França se enfrentaram na final, qual a probabilidade deles terem começado no mesmo grupo?

A probabilidade é dada pela quantidade de eventos favoráveis dividido elo total de possibilidades. Ou seja, dividimos a quantidade de chaves possíveis em que os dois times estão juntos pelo total de grupos que podem ser formados.

A quantidade total de grupos de 8 times que podem ser formados com 32 times é:

$C^{32}_4 \cdot C^{28}_4 \cdot C^{24}_4 \cdot C^{20}_4 \cdot C^{16}_4 \cdot C^{12}_4 \cdot C^{8}_4 \div 8! = \dfrac{32!}{(4!)^8 \cdot 8!}$

A quantidade total de grupos que podemos formar sendo que Croácia e França caem na mesma chave, usando a mesma ideia de combinação acima, é:

$\dfrac{30.29.28!}{2.(4!)^7.7!}$

A probabilidade será:

$P = \dfrac{\dfrac{30.29.28!}{2.(4!)^7.7!}}{\dfrac{32!}{(4!)^8 \cdot 8!}} = \dfrac{30.29.28!}{2.(4!)^7.7!} \cdot \dfrac{(4!)^8 \cdot 8!}{32!} = \dfrac{4! \cdot 8}{2 \cdot 32 \cdot 31} = \dfrac{3}{31}$