Question

A trufa tradicional de chocolate é um doce feito com chocolate e recheado com um creme. Uma trufa tradicional tem sua parte externa (casca de chocolate) na forma da superfície de um sólido formado pela junção de uma semiesfera de raio n cm com um cilindro circular reto de altura n/2 cm e raio da base igual a n cm, conforme ilustra o esquema da figura (AB = AC = n cm e CD = n/2 cm, onde n = seu número da chamada e Π(pi)=3. Qual é a área da superfície da trufa?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para responder completamente esta questão é preciso o número da chamada (n).

Entretanto podemos resolver usando a variável n, que deve ser substituída no fim pelo número de chamada.

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A trufa assume o formato apresentado na figura.

Para calcular sua área superficial temos que "dividir" seu formato em poliedros que têm fórmulas conhecidas de área superficial.

⇨ Está no enunciado e podemos ver na figura que a parte de cima da trufa é metade de uma esfera.

A área superficial Aesf da esfera é dada por:

$A_{esf}= 4.π . {r}^{2}$

(onde r é seu raio)

Porém temos uma semiesfera então temos metade da área superficial da esfera:

$A_{semiesf} = \frac{A_{esf}}{2} = \frac{4.π . {r}^{2}}{2}$

$A_{semiesf} = 2.π. {r}^{2}$

⇨ Já a parte embaixo da semiesfera é um cilindro. Porém a face de cima do cilindro (um círculo) que está "encostando" na semiesfera NÃO deve ser contada no cálculo da área superficial da trufa, pois estaria "dentro" da trufa.

Somente o círculo de baixo (da base da trufa) deve ser contado.

* Observe a figura do cilindro.

"Desmontando-se" o cilindro vemos que é formado por dois círculos e um retângulo. Desta forma sua área superficial pode ser dada pela soma das áreas dos círculos com a área do retângulo:

$A_{cilindro}= 2×A_{circulo} + A_{retangulo}$

como:

-Acirculo= π . r²

-Aretângulo = base × altura

*observe na figura: a altura chamamos de h e a base desse retângulo é o comprimento da circunferência! (que é C= 2.π.r ) Logo:

Aretângulo = C × h = 2.π.r.h

Assim:

$A_{cilindro}= 2(π r²) + 2.π.r.h$

Como não devemos contar a face de cima, a área que nos interessa é como a área de um copo cilíndrico:

$A_{copo}= π r² + 2.π.r.h$

FINALMENTE a Área superficial total da trufa será a soma da área da semiesfera com a área do "copo"

$A_{trufa} =A_{semiesf} + A_{copo}$

$A_{trufa} = 2.π. r² + π r² + 2.π.r.h$

$A_{trufa} = 2(π. r²) + 1(π r²) + 2.π.r.h$

$A_{trufa} = 3.π. r² + 2.π.r.h$

$A_{trufa} = π.r (3r + 2h)$

Então substituimos pelos valores dados no enunciado

• (raio) r = n
• (altura) h = n/2

$A_{trufa} = π.n (3n + 2 \frac{n}{2})$

$A_{trufa} = π.n (3n + n)$

$A_{trufa} = π.n (4n)$

$A_{trufa} = 4π{n}^{2}$

➥ Seguindo o enunciado substitui-se n pelo número da chamada e π por 3 e então é possível calcular o valor dessa área superficial.