Question

A trasnformada de Laplace é uma relevante ferramenta na resolução de problemas mais complexos, tais como,
problemas relacionados a vibrações mecânicas e, especificamente falando, na simplificação de PVI´s mais
complexos. Sendo assim, considerando a função

Answer 1

Usando a definição da Transformada de Laplace, temos:

$L({e^{-4t}}) = \int\limits^{\infty}_0 {e^{-st}\cdot e^{-4t}} \, dt \\\\ = \int\limits^{\infty}_0 {e^{-(s+4)t}} \, dt \\\\ = \lim_{n \to \infty} \int\limits^n_0 {e^{-(s+4)t}} \, dt \\\\ = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{s+4}\cdot e^{-(s+4)t}) \\\\ = \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{s+4}\cdot e^{-(s+4)n}-(-\frac{1}{s+4}\cdot e^{-(s+4)0})) \\\\ = \lim_{n \to \infty}(-\frac{1}{(s+4)(e^{(s+4)n})}+ \frac{1}{s+4}\cdot e^0) \\\\ =0+ \frac{1}{s+4} \\\\ = \frac{1}{s+4}, s+4\ \textgreater \ 0 \\\\ = \frac{1}{s+4}, s\ \textgreater \ -4$

Portanto, alternativa A).

Espero ter ajudado.