Question

A transformada de Laplace da função f (t) = 4t^3 - 2t^4 + 7t^5 é:

Answer 1

$\mathcal{L}\{ f(t) \} = \mathcal{L}\{4 \cdot t^3 - 2 \cdot t^4 + 7 \cdot t^{5}\} = 4 \cdot \mathcal{L}\{t^3\} - 2 \cdot \mathcal{L}\{t^4\} + 7 \cdot \mathcal{L}\{t^5\}$

Para você resolver, usará a seguinte propriedade:

$\mathcal{L}\{t^{n}\} = \frac{n!}{s^{(n+1)}}$

Assim:

$\mathcal{L}\{f(t)\} = 4 \cdot \frac{3!}{s^{(3+1)}} - 2 \cdot \frac{4!}{s^{(4+1)}} + 7 \cdot \frac{5!}{s^{(5+1)}}$
$\mathcal{L}\{f(t)\} = 4 \cdot \frac{3\cdot 2 \cdot 1}{s^{4}} - 2 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{s^{5}} + 7 \cdot \frac{5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{s^{6}}$

$\mathcal{L}\{f(t)\} = 4 \cdot \frac{6}{s^{4}} - 2 \cdot \frac{24}{s^{5}} + 7 \cdot \frac{120}{s^{6}}$
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{24}{s^{4}} - \frac{48}{s^{5}} + \frac{840}{s^{6}}$

Answer 2

A transformada de Laplace da função f(t) = 4t³ - 2t⁴ + 7t⁵ é F(s) = 24/s⁴ - 48/s⁵ + 840/s⁶.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• A transformada de Laplace de f(t) = tⁿ é F(s) = n!/sⁿ⁺¹;
• A transformada da soma é igual a soma das transformadas;

Com essas informações,  podemos calcular a transformada dessa função:

L{f(t)} = L{4t³} - L{2t⁴} + L{7t⁵}

L{f(t)} = 4.L{t³} - 2.L{t⁴} + 7.L{t⁵}

L{f(t)} = 4 . 3!/s⁴ - 2 . 4!/s⁵ + 7 . 5!/s⁶

F(s) = 4.3.2.1/s⁴ - 2.4.3.2.1/s⁵ + 7.5.4.3.2.1/s⁶

F(s) = 24/s⁴ - 48/s⁵ + 840/s⁶

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