A transformação T: R ⟶ R definida por T(x) =(3x+1) é linear? Utilize os vetores u = (x1) e v = (x2).
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Para que uma transformação seja linear entre dois vetores u e v, duas propriedades devem ser satisfeitas:
1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = kF(u), onde k é uma constante real.
De forma geral, podemos definir uma propriedade única mas equivalente a essas duas:
3) F(au + bv) = aF(u) + bF(v), onde a e b são constantes reais.
Utilizando os vetores u e v, a transformação linear de u e v são:
T(u) = T(x1) = 3x1 + 1
T(v) = T(x2) = 3x2 + 1
Utilizando a propriedade linear com as constantes a e b:
T(au + bv) = T(ax1 + bx2) = 3(ax1 + bx2) + 1
T(au + bv) = 3ax1 + 3bx2 + 1
T(au + bv) = a(3x1) + b(3x2) + 1
Note que aT(u) + bT(v) deveria ser: a(3x1+1) + b(3x2+1). Portanto, esta transformação não é linear.
1) F(u+v) = F(u) + F(v)
2) F(ku) = kF(u), onde k é uma constante real.
De forma geral, podemos definir uma propriedade única mas equivalente a essas duas:
3) F(au + bv) = aF(u) + bF(v), onde a e b são constantes reais.
Utilizando os vetores u e v, a transformação linear de u e v são:
T(u) = T(x1) = 3x1 + 1
T(v) = T(x2) = 3x2 + 1
Utilizando a propriedade linear com as constantes a e b:
T(au + bv) = T(ax1 + bx2) = 3(ax1 + bx2) + 1
T(au + bv) = 3ax1 + 3bx2 + 1
T(au + bv) = a(3x1) + b(3x2) + 1
Note que aT(u) + bT(v) deveria ser: a(3x1+1) + b(3x2+1). Portanto, esta transformação não é linear.
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