Question

A trajetória de um projétil lançado por um canhão, num local plano e horizontal, é dada pela função: f(x) = -x²/32 + x/8. A que distância do canhão caiu o projétil, considerando que x e y são distâncias dadas em quilômetros?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a distância que caiu o projétil em relação ao ponto de onde foi lançado é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf d_{x'x''} = 4\:\textrm{Km}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função do segundo grau - função quadrática - organizada:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} h(x) = -\frac{1}{32}x^{2} + \frac{1}{8}x\end{gathered}$

Cujos coeficientes são:

                    $\Large\begin{cases} a = -1/32\\b = 1/8\\c = 0\end{cases}$        

A distância que caiu o projétil em relação ao ponto de onde foi lançado, é igual à distância entre as raízes da função que descreve a trajetória do respectivo projétil. Para calcularmos esta distância, devemos calcular o módulo da diferença das raízes. Neste caso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{x'x''} = |x' - x''| = \bigg|-\frac{\sqrt{b^{2} - 4ac}}{a}\bigg|\end{gathered} }$

Substituindo os coeficientes na equação "I", temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{x'x''} = |x' - x''|\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \left|-\frac{\sqrt{\bigg(\dfrac{1}{8}\bigg)^{2} - 4\cdot\bigg(-\dfrac{1}{32}\bigg)\cdot0}}{-\dfrac{1}{32}}\right|\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \left|-\frac{\sqrt{\dfrac{1^{2}}{8^{2}} + 0}}{-\dfrac{1}{32}}\right|\end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \left|-\frac{\sqrt{\dfrac{1}{64}}}{-\dfrac{1}{32}}\right|\end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \left|-\dfrac{\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}}}{-\dfrac{1}{32}}\right|\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \left|-\dfrac{\dfrac{1}{8}}{-\dfrac{1}{32}}\right|\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left|\frac{-1}{8}\cdot\frac{-32}{1}\right|\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left|\frac{32}{8}\right|\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = |4|\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\end{gathered}$

✅ Portanto, a distância é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} d_{x'x''} = 4\:\textrm{Km}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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Answer 2

O projétil caiu a 4 km de distância do canhão.

• Se a trajetória do projétil obedece a função f(x), observe que o valor da funcão [f(x)] corresponde à posição vertical (altura) do projétil e o valor de x corresponde ao deslocamento horizontal (distância alcançada) pelo projétil.
• A distância alcançada poelo projétil pode ser determinada impondo que o projétil esteja no solo, ou seja, que sua altura seja zero.
• Portanto para saber o alcance do projétil, iguale a função a zero e determne suas raízes.

f(x) = 0

$\large \sf -\dfrac{x^2}{32} + \dfrac {x}{8} =0$  ⟹ Multiplique ambos os membros por −32.

x² − 4x = 0 ⟹ Fatore.

x⋅(x − 4) = 0

• Para um produto ser zero basta que um de seus fatores seja zero.

$\boxed {\large \sf x = 0 \ km}$

ou

x − 4 = 0 ⟹ Some 4 em ambos os membros.
$\boxed {\large \sf x = 4 \ km}$

• A resposta x = 0 km correponde à posição inicial e a resposta x = 4 km corresponde à posição final do projétil, portanto:

O projétil caiu a 4 km de distância do canhão.

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