A torre Eiffel foi projetada pelo engenheiro Gustave Eiffel para participar de um concurso de desings em Paris. O projeto chamou a atenção, ganhou o concurso e então o que seria uma estrutura temporária tornou-se definitiva em Julho de 1888. A preocupação com a estrutura da torre, fizeram os franceses restaurá-la em 1986-87. Pensando em seu aspecto estrutural, suponha que: Uma de suas bases está na origem, A segunda base está a 20m (localizado à direita) da primeira base. As armações metálicas que unem cada base da torre eiffel sejam parabólicas. A altura máxima descrita pelo arco é de 4m.
Soluções para a tarefa
A função que descreve a parábola é:
y = - 1 x² + 4x
25 5
A função quadrática é dada pela fórmula:
y = ax² + bx + c
Temos que descobrir o valor dos coeficiente a, b e c.
Pela figura, podemos perceber as coordenadas do Xv e do Yv.
Xv = 10
Yv = 4
Xv = - b
2a
10 = - b
2a
- b = 20a
b = - 20a (I)
Yv = - Δ
4a
4 = - Δ
4a
- Δ = 16a
- (b² - 4ac) = 16a
- b² + 4ac = 16a
- b² + 4ac - 16a = 0
4ac = b² + 16a
c = b² + 16a
4a
c = b² + 4 (II)
4a
Além disso, a parábola corta o eixo das abscissas (eixo x) no ponto 20.
Logo, 20 é uma das raízes dessa função.
Quer dizer que, quando x = 20, y = 0.
Substituindo na equação, temos:
0 = a.20² + b.20 + c
0 = 400a + 20b + c (III)
Substituindo (I) e (II) em (III), temos:
400a + 20b + c = 0
400a + 20.(-20a) + b² + 4 = 0
4a
400a - 400a + b² + 4 = 0
4a
b² + 4 = 0
4a
(-20a)² + 4 = 0
4a
400a² + 4 = 0
4a
400a² + 16a = 0
25a² + a = 0
a.(25a + 1) = 0
25a + 1 = 0
25a = - 1
a = - 1
25
Agora, calculamos o valor de b.
b = - 20a
b = - 20.(- 1 )
25
b = 20
25
b = 4
5
Por fim, o valor de c.
400a + 20b + c = 0
400.(- 1 ) + 20. 4 + c = 0
25 5
- 400 + 80 = - c
25 5
- 16 + 16 = - c
0 = - c
c = 0
Por tanto, a função é:
y = - 1 x² + 4x
25 5
