Question

A Terra é rodeada por inúmeros satélites artificiais, que são projetados para diversas funções. Na área de telecomunicações, em especial, os satélites são chamados de “geoestacionários” por terem um período orbital de 24 horas, assim como o período de rotação da Terra. Isso faz com que esses satélites se mantenham estacionários em relação à Terra.

Levando em consideração as três leis de Kepler, esses satélites

A
necessitam orbitar a Terra sempre com a mesma altitude, pois corpos que orbitam em torno de um determinado astro têm a mesma razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio orbital.

B
precisam ter, aproximadamente, a mesma massa entre si e, com isso, a força de atração gravitacional entre cada satélite e a Terra será a mesma para todos, garantindo o mesmo período orbital.

C
devem ter, aproximadamente, mesma massa e raio orbital e, com isso, a força de atração gravitacional entre cada satélite e a Terra será a mesma para todos, garantindo o mesmo período orbital.

D
apresentam uma relação constante entre massa e raio orbital, pois, assim, a força de atração gravitacional entre cada satélite e a Terra será a mesma, garantindo um mesmo período orbital, independentemente da órbita.

E
podem ser colocados em qualquer posição em relação à Terra, desde que tenham suas velocidades ajustadas para que o período seja de 24 horas, por estarem fora da atmosfera terrestre e, portanto, não sofrerem ação de nenhuma força, nem mesmo da força gravitacional.

Answer 1

Resposta:

A ) Necessitam orbitar a Terra sempre com a mesma altitude, pois corpos que orbitam em torno de um determinado astro têm a mesma razão entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio orbital.

Explicação:

Satélites geoestacionários são aqueles que possuem um período de rotação igual ao da terra(≅24h) e por isso, em relação a um observador em nosso planeta, eles estão parados. Obs: para que isso ocorra eles necessitam orbitar sobre o plano equatorial.

A terceira lei de Kepler enuncia o seguinte: "Os quadrados dos períodos de translação dos planetas são proporcionais aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas." Matematicamente:

$\frac{R^{3} }{T^{2} } =k$  ; onde k é uma constante.

Portanto, uma vez fixo o período, o raio de órbita estará determinado! Para os satélites geoestacionários, como todos possuem o mesmo período, devem possuir o mesmo raio e consequentemente a mesma altura.

Utilizando a lei da gravitação universal de Newton podemos inclusive calcular a altura. Primeiramente, admitindo que o satélite descreve uma orbita circular, igualemos a força gravitacional à resultante centrípeta:

$\frac{G\cdot M\cdot m}{R^{2} } =m\cdot \frac{v^{2} }{R} \rightarrow v^{2} =\frac{G\rightarro\cdot M}{R}$

Sendo a velocidade constante, podemos calculá-la dividindo a distância percorrida em uma volta completa (perímetro da orbita circular=2πR) pelo tempo gasto ( período de rotação):

$v=\frac{2\pi R}{T}$

Substituindo na equação anterior:

$\frac{4\pi ^{2}R^{2} }{T^{2} } =\frac{GM}{R} \rightarrow \frac{R^{3} }{T^{2} } =\frac{GM}{4\pi ^{2}}$

O período de rotação da terra é de T≅24h=24·60·60=s, a constante de gravitação universal é G≅6,67.10-11 N.m²/kg² e a massa da terra M≅5,972 × 10^24 kg. Logo:

$R^{3}=\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,972 \cdot 10^{24} }{4\p\pi ^{2}\cdot } \cdot ( 86400)^{2} \rightarrow R\approx42200000m=42200km$

Mas, o raio encontrado é o da orbita ao redor da terra. Para acharmos a altura devemos subtrair do resultado o raio da terra(≅6400km). Portanto:

h=42200-6400=35800km

Concluímos então que todo satélite geoestacionário deve orbitar a terra em uma altura de aproximadamente 35800 km.