Question

A terceira lei de Kepler para o movimento planetário enuncia que:

O quadrado do período orbital T de um planeta é diretamente proporcional ao cubo de sua distância média, r, ao Sol.

Em termos matemáticos, representando-se por T o período orbital de um planeta e por r sua distância média até o Sol, a terceira lei de Kepler pode ser expressa pela equação:

k= T^2 / r^3

Sendo k uma constante que possui o mesmo valor para as órbitas de todos os planetas do Sistema Solar. Se aplicada para órbitas de outro sistema planetário, a equação fornece outro valor para k, que é, por sua vez, o mesmo para todas as órbitas daquele sistema. A constante k é denominada “constante de Kepler” em homenagem ao astrônomo que a determinou.

Para o Sistema Solar, tem-se que k = 1 e, para o planeta Terra, considerado como referência, tem-se que T = 1; r = 1, em suas respectivas unidades de medida. Admita-se que houvesse, no Sistema Solar, um planeta X com o período orbital igual a 8 unidades de medida.

Considerando-se a terceira lei de Kepler, a distância média do planeta X até o Sol seria quantas vezes a distância média do planeta Terra ao Sol?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 8​

Answer 1

Após realizar os cálculos necessários, podemos afirmar que a distância do planeta X até o Sol é 4 vezes a distância média do planeta Terra ao Sol, conforme a alternativa D.

3ª lei de Kepler

Esta lei afirma que a razão entre o quadrado do período orbital de um corpo e o cubo da distância média de sua órbita é constante para qualquer corpo que orbita um mesmo astro.

Matematicamente, representamos esta lei com a seguinte fórmula:

$\boxed{\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{T^{2}}{r^{3}} = K} }}$

Em que:

$\displaystyle \mathsf{T = periodo~orbital}\\ \displaystyle \mathsf{r = distancia~media~da~orbita}\\ \displaystyle \mathsf{K = constante}$

Resolução do exercício

O planeta X possui o período orbital igual a 8 unidades de medida. Como a constante K do Sistema Solar é igual a 1, teremos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{T^{2}}{r^{3}} = K} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{8^{2}}{d^{3}} = 1} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{64}{d^{3}}= 1} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{64 = d^{3}} }\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\sqrt[3]{64} = d} }\\\\\boxed{\large \displaystyle \mathsf{d = 4}}$

O raio médio (d) do planeta X é igual a 4 unidades de medida.

A questão nos informa que o raio médio da Terra é igual a 1 unidade de medida.

Portanto, o raio médio do planeta X ao Sol é igual a 4 vezes o do planeta Terra.

Gabarito: alternativa D.

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

Veja mais sobre a 3ª Lei de Kepler em:

• https://brainly.com.br/tarefa/17447502