Question

A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto P=(1,2,2) é de 120 graus Celsius. a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P em direção ao ponto a (2,1,3) b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento da temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.

Answer 1

Temperatura na Superfície de uma Bola

A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como sendo a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120°.

A) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) em direção ao ponto (2, 1, 3).

                                                        T(x,y,z)=k/√(x^2+y²+z²)

       T(1,2,2)=k/√(1+2^2+2^2 )  =k/3=120 →k=360  

T(x,y,z)=360/√(x^2+y²+z²)

Vetor de direção: (2,1,3) – (1,2,2) = (1,-1,1)

u=((1,-1,1))/√(1^2+(-1)^2+1²)=  1/(√3),-1/√3,1/(√3)  

∇T(1,2,2)=360*((-x)/((x^2+y^2+z^2 ) ),(-y)/((x^2+y^2+z^2 ) ),(-z)/((x^2+y^2+z^2 ) ))(1,2,2)  

         =- 360 (1/27,2/27,2/27)= -40/3(1,2,2)  

              =  ∂T/∂u (1,2,2)=∇T(1,2,2).(1,-1,1)  1/√3=-40/(3√3) (1,2,2).(1,-1,1)=40/(3√3)  

B) Mostre que em qualquer ponto da bola, a direção de maior crescimento na temperatura é dada pelo vetor que aponta para a origem.

∇T(x,y,z)=360/〖(x^2+y^2+z^2)〗^(3/2)   (-x,-y,-z)

Dado o ponto (x,y,z) na bola, o vetor que aponta para a origem é o vetor (0-x, 0-y, 0-z) = (-x,-y,-z). Assim, a direção de maior crescimento da temperatura é dada pelo vetor que aponta para a origem.