Question

a temperatura em qualquer ponto (x,y) do plano é dada por T= 3y2+x2-x. qual a temperatura máxima e minima num disco fechado de raio 1 centrado na origem.

Answer 1

Encontrar o valor máximo e o valor mínimo da função temperatura

$T(x,\,y)=3y^{2}+x^{2}-x$


restrito à condição $x^{2}+y^{2}\leq 1.$

Como o domínio de restrição é fechado e limitado, pelo Teorema de Weierstrass, a função admite máximo e mínimo absoluto sobre o disco 


O vetor gradiente da função temperatura é

$\nabla T(x,\,y)=\left(2x-1,\,6y \right )$


$\bullet\;\;$ Procurar pontos críticos no interior do disco:

$\nabla T(x,\,y)=(0,\,0)\\ \\ (2x-1,\,6y)=(0,\,0)\\ \\ x=\frac{1}{2}\;\;\text{ e }\;\;y=0$


O ponto $P_{1}=\left(\frac{1}{2},\,0 \right )$ está contido no disco. Logo, este é um ponto crítico.


$\bullet\;\;$ Procurar pontos críticos na fronteira do disco:

A fronteira do disco é a circunferência de equação

$x^{2}+y^{2}=1$


Podemos pensar nesta curva, como sendo a curva de nível $1$ da função

$g(x,\,y)=x^{2}+y^{2}$


Calculando o vetor gradiente da função $g(x,\,y):$

$\nabla g(x,\,y)=(2x,\,2y)\\ \\ \nabla g(x,\,y)=2\cdot (x,\,y)$


Os pontos críticos da fronteira são tais que

a) os vetores gradientes da função temperatura e da função $g$ são paralelos;

b) Os pontos pertencem à curva $g(x,\,y)=1.$


Sendo assim, devemos ter

$\nabla T(x,\,y)\parallel \nabla g(x,\,y)\\ \\ (2x-1,\,6y)\parallel 2\cdot (x,\,y)\\ \\ (2x-1,\,6y)=\lambda\cdot (x,\,y),\;\;\;\;\;\lambda \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ x^{2}+y^{2}=1\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A partir das duas equações acima, montamos o seguinte sistema:

$\left\{ \begin{array}{l} 2x-1=\lambda x\\ \\ 6y=\lambda y\\ \\ x^{2}+y^{2}=1 \end{array} \right.$


Reescrevendo o sistema acima, temos

$\left\{ \begin{array}{lc} (2-\lambda)x=1&\;\;\;\;\mathbf{(iii)}\\ \\ (6-\lambda)y=0&\;\;\;\;\mathbf{(iv)}\\ \\ x^{2}+y^{2}=1&\;\;\;\;\mathbf{(v)} \end{array} \right.$


Da equação $\mathbf{(iv)},$ temos dois casos a analisar:

Caso 1. $\lambda=6:$

Substituindo na equação $\mathbf{(iii)},$ obtemos

$(2-6)x=1\\ \\x=-\frac{1}{4}$


Substituindo o valor de $x$ encontrado na equação $\mathbf{(v)},$ obtemos

$\left(-\frac{1}{4} \right )^{2}+y^{2}=1\\ \\ \frac{1}{16}+y^{2}=1\\ \\ y^{2}=1-\frac{1}{16}\\ \\ y^{2}=\frac{15}{16}\\ \\ y=-\frac{\sqrt{15}}{4}\;\;\text{ ou }\;\;y=\frac{\sqrt{15}}{4}$


Assim, obtemos mais dois pontos críticos na fronteira do disco:

$P_{2}=\left(-\frac{1}{4},\,-\frac{\sqrt{15}}{4} \right )\;\;\text{ e }\;\;P_{3}=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{\sqrt{15}}{4} \right )$


Caso 2. $y=0:$

Substituindo o valor de $y$ na equação $\mathbf{(v)},$ temos

$x^{2}+0^{2}=1\\ \\ x=-1\;\;\text{ ou }\;\;x=1$


Substituindo os valores de $x$ encontrados na equação $\mathbf{(iii)},$ temos

para $x=-1\;\;\Rightarrow\;\;(2-\lambda)\cdot (-1)=1$

$2-\lambda=-1\\ \\ \lambda=3$


para $x=1\;\;\Rightarrow\;\;(2-\lambda)\cdot 1=1$

$2-\lambda=1\\ \\ \lambda=1$


Como existem valores de $\lambda$ para $x=-1$ e $x=1,$ obtemos mais dois pontos críticos na fronteira:

$P_{4}=\left(-1,\,0 \right )\;\;\text{ e }\;\;P_{5}=\left(1,\,0 \right )$


$\bullet\;\;$ Agora, calculamos o valor da função temperatura em cada um dos pontos críticos encontrados:

$T(P_{1})=T\left(\frac{1}{2},\,0 \right)=3\cdot 0^{2}+\left(\frac{1}{2} \right )^{2}-\frac{1}{2}\\ \\ T(P_{1})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\ \\ T(P_{1})=\frac{1-2}{4}\\ \\ T(P_{1})=-\frac{1}{4}\\ \\ \\ T(P_{2})=T\left(-\frac{1}{4},\,-\frac{\sqrt{15}}{4} \right)=3\cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{4} \right )^{2}+\left(-\frac{1}{4} \right )^{2}-\left(-\frac{1}{4} \right )\\ \\ T(P_{2})=3\cdot \frac{15}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\\ \\ T(P_{2})=\frac{45+1+4}{16}\\ \\ T(P_{2})=\frac{50}{16}\\ \\ T(P_{2})=\frac{25}{8}$


$T(P_{3})=T\left(-\frac{1}{4},\,\frac{\sqrt{15}}{4} \right)=3\cdot \left(\frac{\sqrt{15}}{4} \right )^{2}+\left(-\frac{1}{4} \right )^{2}-\left(-\frac{1}{4} \right )\\ \\ T(P_{3})=3\cdot \frac{15}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\\ \\ T(P_{3})=\frac{25}{8}\\ \\ \\ T(P_{4})=T(-1,\,0)=3\cdot 0^{2}+(-1)^{2}-(-1)\\ \\ T(P_{4})=1+1\\ \\ T(P_{4})=2\\ \\ \\ T(P_{5})=T(1,\,0)=3\cdot 0^{2}+1^{2}-1\\ \\T(P_{5})=1-1\\ \\ T(P_{5})=0$


Comparando os valores das temperaturas calculados, temos que

$T(P_{1})<T(P_{5})<T(P_{4})<T(P_{2})=T(P_{3})$


Logo,

$\bullet\;\;$ a temperatura mínima ocorre no ponto $P_{1}=\left(\frac{1}{2},\,0 \right ),$ e vale $T\left(\frac{1}{2},\,0 \right )=-\frac{1}{4};$

$\bullet\;\;$ a temperatura máxima ocorre nos pontos $P_{2}=\left(-\frac{1}{4},\,-\frac{\sqrt{15}}{4} \right )$ e $P_{3}=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{\sqrt{15}}{4} \right )$ e vale $T\left(-\frac{1}{4},\,-\frac{\sqrt{15}}{4} \right )=T\left(-\frac{1}{4},\,\frac{\sqrt{15}}{4} \right )=\frac{25}{8}.$