a temperatura em qualquer ponto (x,y) do plano é dada por T= 3y2+x2-x. qual a temperatura máxima e minima num disco fechado de raio 1 centrado na origem.
Soluções para a tarefa
Respondido por
8
Encontrar o valor máximo e o valor mínimo da função temperatura

restrito à condição
Como o domínio de restrição é fechado e limitado, pelo Teorema de Weierstrass, a função admite máximo e mínimo absoluto sobre o disco
O vetor gradiente da função temperatura é

Procurar pontos críticos no interior do disco:

O ponto
está contido no disco. Logo, este é um ponto crítico.
Procurar pontos críticos na fronteira do disco:
A fronteira do disco é a circunferência de equação

Podemos pensar nesta curva, como sendo a curva de nível
da função

Calculando o vetor gradiente da função

Os pontos críticos da fronteira são tais que
a) os vetores gradientes da função temperatura e da função
são paralelos;
b) Os pontos pertencem à curva
Sendo assim, devemos ter

A partir das duas equações acima, montamos o seguinte sistema:

Reescrevendo o sistema acima, temos

Da equação
temos dois casos a analisar:
Caso 1.
Substituindo na equação
obtemos

Substituindo o valor de
encontrado na equação
obtemos

Assim, obtemos mais dois pontos críticos na fronteira do disco:

Caso 2.
Substituindo o valor de
na equação
temos

Substituindo os valores de
encontrados na equação
temos
para

para

Como existem valores de
para
e
obtemos mais dois pontos críticos na fronteira:

Agora, calculamos o valor da função temperatura em cada um dos pontos críticos encontrados:


Comparando os valores das temperaturas calculados, temos que

Logo,
a temperatura mínima ocorre no ponto
e vale 
a temperatura máxima ocorre nos pontos
e
e vale 
restrito à condição
Como o domínio de restrição é fechado e limitado, pelo Teorema de Weierstrass, a função admite máximo e mínimo absoluto sobre o disco
O vetor gradiente da função temperatura é
O ponto
A fronteira do disco é a circunferência de equação
Podemos pensar nesta curva, como sendo a curva de nível
Calculando o vetor gradiente da função
Os pontos críticos da fronteira são tais que
a) os vetores gradientes da função temperatura e da função
b) Os pontos pertencem à curva
Sendo assim, devemos ter
A partir das duas equações acima, montamos o seguinte sistema:
Reescrevendo o sistema acima, temos
Da equação
Caso 1.
Substituindo na equação
Substituindo o valor de
Assim, obtemos mais dois pontos críticos na fronteira do disco:
Caso 2.
Substituindo o valor de
Substituindo os valores de
para
para
Como existem valores de
Comparando os valores das temperaturas calculados, temos que
Logo,
monikalves:
obrigada
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