Question

A temperatura de uma xícara de café varia de acordo com a Lei de Resfriamento de Newton: - "dT / dt = k (T-A), onde é a temperatura do café, A é a temperatura ambiente e k é um positivo constante. Se o café esfriar de 100° C a 90° C em 1 minuto a uma temperatura ambiente de 25*C, encontre a temperatura, com a aproximação de grau Celsius do café após 4 minutos,
A) 74
B) 67
C) 60
D) 42​

Answer 1

A alternativa correta é a letra B.

A Lei de Resfriamento de Newton dada por:

$\displaystyle \frac {dT} {dt} = k (T - A)$

Onde T é a temperatura do café, A é a temperatura ambiente e k é uma constante positiva.

Sabemos que o café esfria de 100° C a 90° C em um minuto a uma temperatura ambiente A de 25° C.

E queremos saber a temperatura do café depois de quatro minutos.

Primeiro, resolva a equação diferencial. Multiplique ambos os lados por dt e divida ambos os lados por (T - A). Por isso:

$\displaystyle \frac {dT} {T-A} = k \ dt$

Faça a integral de ambos os lados:

$\displaystyle \int \frac {dT} {T-A} = \int k \ dt$

Integrar:

$\displaystyle \left | T-A \right | = kt + C$

Levante ambos os lados para e:

$| T - A | = e ^ {kt + C} = Ce ^ {kt}$

A temperatura do café T será sempre maior ou igual à temperatura ambiente A. Assim, podemos retirar o valor absoluto:

$\displaystyle T = Ce ^ {kt} + A$

Recebemos que A = 25. Portanto:

$\displaystyle T = Ce ^ {kt} + 25$

Como o café esfria de 100° C a 90° C, a temperatura inicial do café era de 100° C. Assim, quando t = 0, T = 100:

$100 = Ce ^ {k (0)} + 25$ → $C = 75$

Por isso:

$T = 75e ^ {kt} + 25$

Sabemos que o café esfria de 100° C a 90° C após um minuto à temperatura ambiente de 25 ° C.

Então, T = 90 dado que t = 1. Substitua:

$90 = 75e ^ {k (1)} + 25$

Resolva para k:

$\displaystyle e ^ k = \frac {13} {15}$ → $k = \left (\frac {13} {15} \right)$

Portanto:

$\displaystyle T = 75e ^ {(13/15) t} + 25$

Depois de quatro minutos, a temperatura do café será:

$\begin{gathered}\displaystyle \begin{aligned} T(4)&=75e^{(13/15)(4)}+25 = \boxed {67^\circ\text{C}}\end{aligned}\end{gathered}$

Acesse mais conteúdo em: https://brainly.com.br/tarefa/24762613