Question

A temperatura de uma substância (T) pode ser determinada pela lei de resfriamento de Newton, que relaciona a temperatura com o tempo transcorrido (t) pelo resfriamento, podendo ser expressa por:
T(t)=22+188e -0,270t

Sendo T em ºC e o tempo dado em minutos. Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: ​ ​I) A temperatura inicial da substância é de 210 ºC. II) Após 15 minutos, a substância atingiu sua temperatura mínima. III) A temperatura de 60ºC será atingida após 8 min de resfriamento. IV) A temperatura de 30ºC será atingida após 11,5 min de resfriamento.


I e II, apenas.


II e III, apenas.


I e III, apenas.


III e IV, apenas.


I e IV, apenas.

Answer 1

A temperatura em função do tempo é dada por 

$T(t)=22+188\cdot e^{-0,27t}$.

Vou analisar as afirmações uma por uma.

I) A temperatura inicial da substância é de 210ºC.

Fazendo t = 0 (instante inicial) na expressão dada obtemos

$T(0)=22+188\cdot e^{-0,27\cdot 0}$
$T(0)=22+188\cdot e^{0}$
$T(0)=22+188\cdot 1$
$T(0)=22+188$
$T(0)=210\ºC$

Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

II) Após 15 minutos, a substância atingiu sua temperatura mínima.

É fácil ver que essa afirmação é falsa, basta olhar para a forma da função dada. Temos um termo constante e um termo que decai exponencialmente com o tempo ($e^{-x}$). O termo exponencial tem seu valor máximo no instante inicial: ($e^{0}=1$). No limite em que t⇒∞, a função exponencial aproxima-se assintoticamente de zero. Portanto, a função dada atinge o mínimo somente em tempos infinitamente grandes!

III) A temperatura de 60ºC será atingida após 8 min de resfriamento.

Basta substituirmos o valor de t = 8 na função dada, com o qual obtemos:

$T(8)=22+188\cdot e^{-0,27\cdot 8}$
$T(8)=22+188\cdot e^{-2,16}$
$T(8)=22+188\cdot e^{-2,16}$
$T(8)=22+188\cdot 0,115$
$T(8)=22+21,6$
$T(8)=44\ºC$

Portanto essa afirmativa é falsa.

IV) A temperatura de 30ºC será atingida após 11,5 min de resfriamento.

O procedimento é idêntico ao item anterior.

$T(11,5)=22+188\cdot e^{-0,27\cdot 11,5}$
$T(11,5)=22+188\cdot e^{-3,11}$
$T(11,5)=22+188\cdot 0,0446$
$T(11,5)=22+8,38$
$T(11,5)=30 \ºC$

Essa afirmativa é verdadeira!

Juntando tudo, temos que apenas as alternativas I e IV estão corretas.