Question

A temperatura de uma placa em graus Celsius é dada por T(x,y) = x² + 4y³ , sendo x e y em cm . Calcule a taxa de variação instantânea ( o mesmo que derivada direcional) da temperatura no ponto (4,1) na direção e sentido do vetor v = ( 3 , 4 ) . A unidade dessa taxa é 0C/cm . Escreva no local indicado somente o número. Escreva esse resultado com um número com uma casa decimal.

Answer 1

Resposta:

12 ºC/cm

Explicação passo-a-passo:

Dado um vetor unitário $\vec{u}=a\,\hat{i}+b\,\hat{j}$, a derivada (taxa de variação) de uma função $f(x,y)$ no ponto $P(x_0,y_0)$ na direção do vetor $\vec{u}$ é dada por $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot a+f_y(x_0,y_0)\cdot b$. Como $\vec{v}=(3,4)$ não é um vetor unitário, dividimos ele por seu módulo. Sendo $\left \| v \right \|=\sqrt{3^2+4^2}=5$, temos que $\vec{v}_0=(3/5,4/5)$ é unitário.

Devemos então obter as derivadas parciais da função. Temos que:

$f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+4y^3)$

$f_x(x,y)=2x$

$f_x(4,1)=2\cdot 2=4$

No caso de $y$, ficamos com:

$f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+4y^3)$

$f_y(x,y)=12y$

$f_y(4,1)=12\cdot1=12$

Com isso concluímos que:

$D_{\vec{u}}(4,1)=f_x(4,1)\cdot \frac{3}{5}+f_y(4,1)\cdot\frac{4}{5}$

$D_{\vec{u}}(4,1)=4\cdot \frac{3}{5}+12\cdot\frac{4}{5}$

$D_{\vec{u}}(4,1)=\frac{12}{5}+\frac{48}{5}$

$D_{\vec{u}}(4,1)=\frac{60}{5}=12\;^{\circ}C/cm$